¿Por qué $ \text{Var}(Y) = E(\text{Var}(Y|X))+ \text{Var}(E(Y|X))$ ? ¿Cuál es la explicación intuitiva de esto? En términos sencillos parece decir que la varianza de $Y$ es igual al valor esperado de la varianza condicional más la varianza de la expectativa condicional.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Una prueba rigurosa es aquí se basa en la ley de la expectativa total, que dice que $E(E(X|Y))=E(X)$ . La explicación intuitiva de que es que $E(X|Y)$ es el valor esperado de $X$ dado un valor particular de $Y$ y que $E(E(X|Y))$ es el valor esperado de eso sobre todos los valores de $Y$ . Así que $Y$ ya no importa, y sólo estamos viendo $E(X)$ .
La ley de varianza es un poco más difícil de analizar, pero esto es lo que me dice. "¿Cuánto cuesta $Y$ ¿variar? Nosotros esperar que varíe por el valor medio de las varianzas que obtenemos fijando $X$ . Pero incluso cuando arreglamos $X$ Hay un poco de oscilación en $Y$ y así oscilar en $E(Y|X)$ . Así que añadimos la varianza de $E(Y|X)$ . El primer término es la varianza esperada de la media de $Y|X$ el segundo es la varianza de ese medio ."
Martin Gordon
Puntos
19587
Geométricamente es sólo el teorema de Pitágoras. Podemos medir la "longitud" de las variables aleatorias mediante la desviación estándar.
Empezamos con una variable aleatoria Y. E(Y|X) es la proyección de esta Y al conjunto de variables aleatorias que puede expresarse como una función determinista de X.
Tenemos una hipotenusa Y con longitud al cuadrado Var(Y).
El primer tramo es E(Y|X) con longitud al cuadrado Var(E(Y|X)).
El segundo tramo es Y-E(Y|X) con longitud al cuadrado Var(Y-E(Y|X))=...=E(Var(Y|X)).
