Probar$\ln\frac{p}{q}\leq \frac{p-q}{\sqrt{pq}}$ para$0<q\leq p$

Question

Es una cuestión en un libro de problemas:

Probar$\ln\frac{p}{q}\leq \frac{p-q}{\sqrt{pq}}$ para$0<q\leq p$.

En realidad ya lo he resuelto: Defina$F(x)=\frac{x-q}{\sqrt{xq}}-\ln x+\ln q$, entonces$F'(x)\geq0$ cuando$x\geq q$.

Sin embargo, el libro de problemas da una pista para usar la desigualdad de Schwarz $$ \ left (\ int_a ^ bf (x) g (x) dx \ right) ^ 2 \ leq \ int_a ^ bf ^ {2} (x) dx \ cdot \ Int_a ^ bg ^ 2 (x) dx $$ No sé cómo usarlo.

Answer 1

$f(x) = \frac{1}{x}, g(x) = 1$, y por lo tanto

ps

lo que significa

$$ \begin{align*} (ln(p)-ln(q))^2 &\leq \left(-\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\right) \times (p-q)\\ &=\frac{(p-q)^2}{pq}\\ \end {align *} $$

Por lo tanto

Answer 2

Sugerencia:$f(x) = 1$, comience con la LHS de la desigualdad

Sugerencia 2:$g(x) = \frac1 x$

Answer 3

$\ln\left(\frac{p}{q} \right)\leq \sqrt{\frac{p}{q}}-\sqrt{\frac{q}{p}}$, Poniendo$x=\frac{p}{q}(\geq 1$ porque$q\leq p)$ tenemos:$\ln x\leq \frac{x-1}{\sqrt x}$ y esta relación es verdadera en cada intervalo$[1,M>0)$ para cada $\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\ln x}{x}=0$.

Answer 4

Estimación$x \mapsto \tfrac{1}{x}$ on$[q,p]$ por una función lineal que baja de$\tfrac{1}{q}$ a$\tfrac{1}{p}$ se obtiene

\ Frac {1} {q} \ frac {1} {2} 1} {p} \ derecha) (pq) = \ frac {1} {2} \ frac {p ^ 2-q ^ 2} {pq}. $$

Después también

$ \ Log \ frac {p} {q} = 2 \ log \ frac {\ sqrt {p}} {\ sqrt {q}} \ leq \ frac {pq} {\ sqrt {pq}}. $$