Demostrar que $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)(k+2)\cdots (k+p)}=\frac{1}{p!p} $ para cada número entero positivo $p$

Question

Tengo que demostrar que $$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)(k+2)\cdots (k+p)}=\dfrac{1}{p!p}$$

¿Cómo puedo hacerlo?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \frac{1}{k(k\!+\!1)(k\!+\!2)\cdots (k\!+\!p)}=\frac{1}{p}\!\left(\frac{1}{k(k\!+\!1)\cdots (k\!+\!p\!-\!1)}-\frac{1}{(k\!+\!1)(k\!+\!2)\cdots (k\!+\!p)}\right) $$ Por lo tanto, $$ \sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)\cdots (k+p)}=\\=\frac{1}{p}\left(\frac{1}{p!}-\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)\cdots (n+p)}\right) \to \frac{1}{p!p} $$ como $n\to\infty$ .

De la misma manera, $$ \sum_{k=1}^n\frac{1}{(k+1)(k+2)\cdots (k+p)}=\\=\frac{1}{p-1}\left(\frac{1}{p!}--\frac{1}{(n+2)(n+2)(n+3)\cdots (n+p)}\right) \to \frac{1}{p!(p-1)} $$

Answer 2

Una respuesta más sencilla: Telescopio

por el hecho de ser fijo $p\in\Bbb N$ Si dejamos que $u_n =\frac1{n(n+1)\cdots(n+p-1)}$

entonces,

$u_n -u_{n+1} = \frac1{n(n+1)\cdots(n+p-1)}-\frac1{(n+1)(n+2)\cdots(n+p)} =\frac p{n(n+1)\cdots(n+p)}$

Por lo tanto, por la suma telescópica obtenemos, $$ u_1 = u_1-\lim_{n\to \infty}u_{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty} (u_n -u_{n+1}) = p\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)\cdots (n+p)}$$

Pero $u_1 = \frac1{1(1+1)\cdots(1+p-1)} = \frac{1}{p!}$

Por lo tanto, $$ \color{red}{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)\cdots (n+p)} = \frac{1}{p!p}}$$