Esta respuesta es más de lo que necesita ser porque yo quería hacer un argumento general. Esto funcionará para cualquier colindado muere. Yo podría haber generalizado un poco más en términos de cuánto usted tiene que pagar a rodar de nuevo, pero me dio pereza. Siéntase libre de hacer preguntas aclaratorias!
En cada punto en el juego, su estrategia debe ser, independientemente de su anterior rollos. Para ver por qué esto es, pensar en ello como esto. Lo que obtuviste anteriormente no tiene ningún efecto sobre ti ahora mismo. Es decir, no importa lo mucho que han perdido o ganado, si este rollo actual está a punto de hacer es rentable, usted debe hacer si usted tiene ya ganado un millón de dólares o perdido un millón de millones, porque en este momento actual en el tiempo, es absolutamente rentable. Sus ganancias pasadas no juegan ningún rollo en la decisión.
Nuestra estrategia será la de elegir una cantidad límite por encima del cual vamos a aceptar las ganancias y parada. Para este punto de corte, vamos a desarrollar un método para calcular la espera y maximizar las ganancias.
Deje $n$ el número de lados en los dados y $k$ ser el punto de corte. Vamos a calcular el valor esperado de esta estrategia ($S_k$) como:
$$
E[S_k] = p(x \geq k)\cdot E[ x\vert x \geq k] + (1-p(x\geq k))\cdot \left(E[S_k]-1\right)
$$
Es decir, hemos convenido, si nuestro rollo es mayor que la frecuencia de corte vamos a parar y si es menos vamos a rodar de nuevo. Por tanto, si nuestro rollo es mayor que $k$ (lo que ocurrirá con $p(x \geq k)$), a continuación, calculamos el valor esperado de los valores de $x \geq k$ y multiplicarlo por la probabilidad. Sin embargo, si nuestro rollo es menor que la frecuencia de corte, entonces estamos de vuelta donde empezamos a excepción de que hemos perdido a un dólar por lo que el valor esperado es $E[S_k] - 1$.
Reordenando la ecuación nos da:
$$
\begin{align}
E[S_k] &= p(x \geq k)\cdot E[ x\vert x \geq k] + (1-p(x\geq k))\cdot \left(E[S_k]-1\right) \\
E[S_k]\cdot p(x\geq k) &= p(x \geq k)\cdot E[ x\vert x \geq k] - (1-p(x\geq k)) \\
E[S_k] &= \frac{p(x \geq k)\cdot (1 + E[ x \vert x \geq k]) - 1}{p(x\geq k)} \\
E[S_k] &= 1 + E[ x \vert x \geq k] - \frac{1}{p(x\geq k)} \\
\end{align}
$$
Permítanos calcular el $p(x \geq k)$$E[x \vert \geq k]$. Hay $n-k+1$ rollos mayor o igual a $k$ y desde allí se $n$ posible rollos, obtenemos:
$$
p(x \geq k) = \frac{n + 1 - k}{n}
$$
Como para $E[x \vert x \geq k]$, los números de $k, k+1, \ldots n$ son todos mayores o iguales a $k$ y ocurren con igual probabilidad. Por lo que el valor esperado de estos es justo allí promedio de decir:
$$
E[x \vert x \geq k] = \frac{n + k}{2}
$$
La combinación de estos, finalmente se obtiene:
$$
E[S_k] = 1 + \frac{n + k}{2} - \frac{n}{n + 1 - k} \\
$$
Lo que queremos es maximizar esta función. Podemos hacer esto fácilmente mediante el cálculo de cuando la derivada es $0$:
$$
\frac{\partial}{\partial k} E[S_k] = \frac{1}{2} - \frac{n}{(n + 1 - k)^2} \\
$$
y así, se calcula cuando este es $0$:
$$
\begin{align}
(n + 1 - k)^2 - 2n &= 0\\
k^2 + k(-2 n - 2) + n^2 + 1 &= 0 \\
k &= \frac{2n + 2 \pm \sqrt{(2n+2)^2 - 4(n^2 + 1)}}{2} \\
k &= n + 1 \pm \sqrt{2n} \\
k &= n + 1 - \sqrt{2n}
\end{align}
$$
Así, el uso de los valores para $n = 6$, su respuesta final es $k = 3.53$ tan pronto como usted hace rodar por encima de $3$ en el juego, usted debe parar :)
Addendum:
Sólo para la integridad, la versión más general, donde usted tiene que pagar el $p$ dólares para rodar de nuevo está dado por:
Óptimo de corte:
$$
k = n + 1 - \sqrt{2np}
$$
En caso de que usted quisiera algunas pruebas, aquí están los gráficos de la media de dinero que se gana después de parar tan pronto como un rollo de $x$ o más es visto.
$n = 6$. Nota cómo el valor óptimo es al $x = 3$ o $x = 4$ son los puntos de corte:
![enter image description here]()
$n = 50$. Nota cómo max se a $51 - \sqrt{100} = 41$, exactamente como la fórmula predice:
![enter image description here]()
