(Debe ser primero dijo que yo soy todo lo nuevo para este tipo de cosas, así que dile si algo resulta ser obvio para el lector más experimentado, o incluso incorrecta.)
He estado considerando el siguiente problema: supongamos $f_n $ ser una secuencia real de los valores de las funciones definidas sobre un subconjunto de los reales, que satisface la condición inicial $f_0(x) = q(x)$ y la siguiente relación de recurrencia para todas las $x$:
$$f_{n+1}(x) = q(x) + \frac{p(x)}{f_n(x)} \tag{1}$$
donde $q$ $p$ son polinomios que vamos a exigir a ser lineal, por ahora.
La limitación de las funciones y los no críticos para la región. La pregunta obvia es si la secuencia tiene una función limitante $f$, y lo que la función sería. Sin preocuparse mucho acerca de los detalles, se podría multiplicar ambos lados de $(1)$ $f_n(x)$ y tomar el límite cuando $n$ enfoques infinito para obtener, por la misma pertinentes $x$, la siguiente relación: $$f^2(x) - q(x)f(x) - p(x) = 0 \tag{2}$$ El uso de la fórmula cuadrática, podemos identificar dos posibles candidatos para una función de limitación:
$$f_\pm(x) = \frac{q(x) \pm \sqrt{q^2(x) + 4p(x)}}{2} \tag{3}$$
que por supuesto tiene sentido siempre como $\delta(x) \doteq q^2(x) + 4p(x) \geq 0$. Me han confirmado gráficamente que, de hecho, en la no-región crítica ( $\delta > 0$ ) $f_n$'s tienden a agruparse alrededor de uno de los $f_\pm$'s; se cambiará a la otra en todas las soluciones de $q$ (y este hecho tiene en general, incluso para los no polinomio $p$$q$!).
De hecho, en los puntos donde se $q$ se desvanece vemos que todos los $f_n$ incluso $n$ debe desaparecer, mientras que todos los $f_n$ con extraña $n$ debe encallar off hasta el infinito y volver por el otro lado, antes de que ambas familias enfoque de la otra función de limitación. Me inclino a pensar que el conjunto de la función de limitación debe ser en general indefinido y no tienen límite en todos los puntos donde $q$ se desvanece, siempre y cuando los puntos se encuentran dentro de la no-crítico de la región. Un ejemplo se muestra a continuación.
La región crítica y el nodo pilares. Ahora, la parte más interesante es la crítica (todos los $x$ tal que $\delta(x) \leq 0$). En esta región, no hay ninguna limitación de la función converge a y la $f_n$'s son libres de hacer lo que ellos quieren. Sin embargo, un curioso, aparentemente regular el comportamiento parece surgir.
Considere, por ejemplo, el caso en que $p(x) = -x$$q(x) = x$. A continuación, el conjunto crítico es el intervalo de $[0,4]$. Aquí está una foto de el caos que ocurre con la primera $50$ funciones en la secuencia en este intervalo.
Usted puede discernir claramente el "nodo pilares" limpiar el desorden en ocasionales puntos; por ejemplo, podemos ver dos alineados verticalmente nodos en $x = 1$, tres nodos en $x = 2$, cuatro nodos en $x \approx 2.618$ (sí, el cuadrado de la proporción áurea $\phi$), cinco nodos en $x = 4$, seis nodos en $x \approx 3.247$ (sí, el de la plata, constante $S$), y así sucesivamente hasta el final del intervalo crítico es alcanzado. Después de un poco de investigación, me encontré con que estos números se conocen como constantes Beraha
$$B_n = 2 + 2\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) = 4\cos^2\left(\frac{\pi}{n}\right) \tag{4}$$
Estas constantes parecen conectar las diferentes áreas de las matemáticas: la proporción áurea $B_5$ del curso aparece en todas partes, la plata constante $B_7$ viene en el 3 ciclo de la logística mapa en la teoría del caos, $B_9$ está relacionado con el vínculo del umbral de percolación del panal gráfico en la teoría de la percolación, y así sucesivamente.
La naturaleza de nodo pilares. Pero el más curioso viene cuando uno se inspecciona que las funciones son la generación de cada nodo de pilar. Nos encontramos con que si un nodo de pilar contiene $k - 1$ nodos (pilar de la orden de $k$), a continuación, para cada nodo existe un único $m\ \ \mathrm{s.t.}\ \ 0 \leq m < k$ tal que, para todos los $f_n$ pasa a través de ese nodo,
$$n \equiv m \pmod k \tag{5}$$
y todas las $k-1$ posibilidades para dichas $m$'s se agotan dentro de cada pilar. Vamos a llamar al nodo asociado con $m$ $m$th nodo de fin de $k$, y el nodo para el que la $m = k$ el principal nodo.
Así, por ejemplo, en $x = B_5 = \phi^2 \approx 2.618$ tenemos $4$ nodos, uno (el principal nodo) generado por $f_0, f_5, f_{10}, \dots$, la de abajo generado por $f_1, f_6, f_{11}, \dots$, el que incluso inferiores a los generados por $f_2, f_7, f_{12}, \dots$, y la parte inferior de uno generado por $f_3, f_8, f_{13}, \dots$, mientras que todas las demás funciones ($f_4, f_9, f_{14}, \dots$) tiene una asíntota vertical.
(Es de destacar que un mismo comportamiento también ocurre en $x = \phi^{-2} \approx 0.382$!)
El hecho de que hay lugares donde algunas de las funciones en nuestra secuencia de desaparecer y algunos de golpe, hasta el infinito no se asemejan al comportamiento que se encuentran en los no críticos para la región en los ceros de $q$, excepto que aquí tenemos más de estas dos opciones ($k-1$ de ellos por un pilar de la orden de $k$). Podría ser tal vez que los pilares de la orden de $2$ se encuentra en los ceros de $q$ fuera del intervalo crítico?
EDIT: Sorprendentemente, después de una cuidadosa búsqueda en el OEIS, yo era capaz de encontrar una familia de polinomios de grado $\ell$ que se desvanecen exactamente donde un pilar de la orden de $2\ell + 1$ se produce. Estos polinomios son dadas por la fórmula
$$\chi_{2\ell + 1} = \sum_{j=0}^\ell (-1)^j \binom{2\ell - j}{j}x^{\ell - j} \tag{6}$$
y son importantes en la teoría de grafos que son los cromática polinomios de máxima grafos planares. También he encontrado que se desvanecen en la generalizada Beraha constantes (mi nombre):
$$\chi_{2\ell + 1}(x) = \prod_{k=1}^\ell \left(x - 4\cos^2\left(\frac{\pi k}{2\ell + 1}\right)\right) \tag{7}$$
Me pregunto lo que los polinomios $\chi_{2\ell}$ fuga en el inclusode orden pilares podría parecer, y si puede haber una fórmula común que tiene para todos los $\ell$.
La altura de los nodos. Como para la altura de cada nodo, que es una historia completamente diferente. Aquí están las nodo alturas registradas para el pilar principal de pedidos (organizado por el aumento de $m$): $$ \begin{split} k=3 &\quad y = 1;\ 0;\ \infty. \\ k=4 &\quad y = 2;\ 1;\ 0;\ \infty. \\ k=5 &\quad y = \phi^2;\ \phi;\ 1;\ 0;\ \infty. \\ k=6 &\quad y = 3;\ 2;\ 1.5;\ 1;\ 0;\ \infty. \\ k=7 &\quad y = B_7;\ B_7 - 1;\ \frac{B_7 - 1}{B_7 - 2};\ \frac{B_7}{B_k - 1};\ 1;\ 0;\ \infty. \\ k=8 &\quad y = B_8;\ B_8 - 1;\ \frac{B_8 - 1}{B_8 - 2};\ \frac{1}{B_8 - 3};\ \frac{B_8}{B_8 - 1};\ 1;\ 0;\ \infty. \\ k=9 &\quad y = B_9;\ B_9 - 1;\ \frac{B_9 - 1}{B_9 - 2};\ \frac{1}{B_9 - 3};\ \frac{1}{4 - B_9};\ \frac{B_9}{B_9 - 1};\ 1;\ 0;\ \infty. \\ \end{split}$$ El patrón no está completamente claro, por ahora. No obstante, una hermosa propiedad que parece emerger: lo $k$ le pick, $m$th elemento en la respectiva secuencia está relacionada con la asociada Beraha constante (la altura de la principal nodo) a través de la misma "racional" de la relación, es decir, que puede ser expresada como una función racional de $B_k$ que no dependen directamente de la $k$; cada vez más interesante, el mismo parece ser para el $(k - m)$elemento th. Así, por ejemplo,
$$\begin{split} \beta_{k;0} &= B_k \\ \beta_{k;1} &= B_k - 1 \\ \beta_{k;(k-4)} &= \frac{B_k}{B_k - 1} \end{split}$$
donde nos indican con $\beta_{k;m}$ $m$th elemento en el $k$th secuencia.
La superposición de tales propiedades no parece ser un problema! Tome, por ejemplo, $k = 4$: tenemos que $k - 4 = 0$, por lo tanto la primera y la tercera expresiones racionales escrito anteriormente debe ser satisfecho por $\beta_{4;0}$. Este es el caso: $$\beta_{4;0} = B_4 = \frac{B_4}{B_4 - 1}$$ así que $$B_4(B_4 - 1) = B_4 \Rightarrow B_4^2 - 2B_4 = 0 \Rightarrow B_4 = \pm 2 $$ lo cual es cierto, ya que la $B_4 = 2$. Lo mismo vale para los $k = 5$, donde tenemos $$\beta_{5;1} = B_5 - 1 = \frac{B_5}{B_5 - 1} $$ así que $$(B_5 - 1)^2 = B_5 \Rightarrow B_5 = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} = \begin{cases} 0.381966,\ \mathrm{or} \\ 2.618033 \end{cases} $$ de las cuales la segunda es verdadera. (Observe cómo $\phi^{-2}$ viene de nuevo a través de la ventana!)
Por lo tanto, parece ser una forma de identificar (aparentemente lineal) expresiones racionales en $B_k$ solo para $\beta_{k;m}$ $\beta_{k;(k-m)}$ que mantenga $\forall k$. Llame a la primera clase hacia adelante expresiones y el último tipo hacia atrás expresiones. Como hemos visto, que en realidad parece que la coincidencia entre un adelante y un atrás de expresión (y las que se sobreponen depende, por supuesto,$k$) es lo que determina el valor de $B_k$.
Por último, si nos fijamos en $k = 5$, nos damos cuenta de que $\beta_{5;1}^2 = \beta_{5;0}$. Uno podría suponer que algún tipo de irracional patrón se esconde detrás de la $\beta$ secuencias; y, de hecho, parece correcto, pero sólo para los impares $k$. La relación es la siguiente:
$$\beta_{(2k+3);0} = \beta_{(2k+3);k}^2$$
Así que mis preguntas son,
- ¿Por qué las funciones en nuestra secuencia necesidad de cambiar a cual de las $f_\pm$ son aproximar al $q$ tiene un cero? ¿Cómo se elige con cual empezar? Y ¿por qué el $f_n$s'no tiene que comportarse como lo hacen para pares e impares valores de $n$?
¿Por qué el nodo pilares de la distribución de acuerdo a la Beraha constantes en nuestro ejemplo concreto?Las verdades que no esta motivación implica, en el caso general?¿Por qué nodo pilares de la orden de $k$ repiten para los valores de $x$ otros de $B_k$ (como se mencionó anteriormente en el caso de $k = 5$)? Cómo son estos valores de $x$ relacionado a $B_k$?- EDITAR – golpeado-a través de preguntas se han convertido en: ¿por Qué el extraño fin de pilares se producen en los ceros de la cromática polinomios $\chi_{2\ell + 1}$? ¿Existen similar polinomios de hasta-el fin de los pilares?
- ¿Por qué los nodos distribuir dentro de los pilares, según el sistema modular de equivalencia $(5)$ arriba? ¿Cómo podemos explicar el hacia adelante y hacia atrás patrones en su altura, en el caso general?
