Grupos Galois de$\mathbb{Q}(\alpha)$ para$\alpha = \sqrt{a+b\sqrt{c}}$ donde$a,b,c \in \mathbb{Q}$

Question

Estoy revisando para un examen de la Teoría de Galois, y no puede administrar la última parte de una pregunta sobre un pasado del papel.

Me han demostrado previamente que el $f(x) = x^4 - 2ax^2 + (a^2-b^2c)$ es un polinomio racional con la raíz de $\alpha = \sqrt{a+b\sqrt{c}}$. Como de costumbre, yo sabía que las raíces de este polinomio son $-\alpha, \beta = \sqrt{a-b\sqrt{c}}$ $-\beta$

La siguiente parte de la pregunta, a continuación, establece:

Supongamos ahora $f$ es irreductible. Mostrar que $G = \text{Gal}(L/ \mathbb{Q})$ ($L$ la división de campo de la $f$) es el de Klein de cuatro grupos $V$ si y sólo si $\alpha$ puede ser expresado en la forma $\alpha = \sqrt{u} + \sqrt{v}$ $u,v \in \mathbb{Q}$

Sé que si el grupo de Galois es$V$, a continuación, los automorfismos debe ser la identidad, $±\sqrt{a±b\sqrt{c}} \mapsto \mp\sqrt{a±b\sqrt{c}}$, $±\sqrt{a±b\sqrt{c}} \mapsto \pm\sqrt{a\mp b\sqrt{c}}$ y $±\sqrt{a±b\sqrt{c}} \mapsto \mp\sqrt{a \mp b\sqrt{c}}$.

Entonces, ¿cómo hago para mostrar que $\alpha = \sqrt{u} + \sqrt{v}$? Estoy seguro de cómo puedo encontrar un enlace aquí, y una sugerencia se agradece!

Yo estoy seguro de que en la otra dirección también.

Answer 1

Si el grupo de Galois es $ V_4 $, luego los elementos

$$ \sqrt{a + b \sqrt{c}} + \sqrt{a - b \sqrt{c}} $$ $$ \sqrt{a + b \sqrt{c}} - \sqrt{a - b \sqrt{c}} $$

están contenidas en una ecuación cuadrática de la extensión de $ \mathbf Q $, ya que se fija por medio de un índice $ 2 $ subgrupo del grupo de Galois. Por otra parte, tienen cero de seguimiento. Desde un elemento de la forma $ x + y \sqrt{d} $ $ x, y, d \in \mathbf Q $ $ d $ no es un cuadrado perfecto tiene cero de seguimiento iff $ x = 0 $ (y sin rastro es una propiedad que se conserva al pasar a un subextension), se sigue que no puede encontrar $ d_1, d_2 \in \mathbf Q $ tal que

$$ \sqrt{a + b \sqrt{c}} + \sqrt{a - b \sqrt{c}} = \sqrt{d_1} $$ $$ \sqrt{a + b \sqrt{c}} - \sqrt{a - b \sqrt{c}} = \sqrt{d_2} $$

De ello se sigue que

$$ \sqrt{a + b \sqrt{c}} = \frac{\sqrt{d_1} + \sqrt{d_2}}{2} = \sqrt{\frac{d_1}{4}} + \sqrt{\frac{d_2}{4}} $$

La otra dirección que se ha esbozado en los comentarios, pero me proporcionan aquí por el bien de finalización: $ \sqrt{u} + \sqrt{v} $ puede tener cuatro conjugados en la mayoría, y desde su polinomio mínimo es que se supone de grado $ 4 $, se sigue que tiene exactamente cuatro conjugados; y por lo tanto el grupo de Galois de $ \mathbf Q(\sqrt{u} + \sqrt{v})/\mathbf Q $ es de orden $ 4 $. Ahora, sólo tienes que buscar en donde los automorfismos tomar el primitivo elemento deducir que el grupo de Galois es $ V_4 $; todo el "obvio" posibilidades debe ceder automorfismos por el fin de contar.