¿Cómo encontrar el vector ortogonal "más vertical" con otro vector?

Question

Dado un vector arbitrario, puedo encontrar cualquier vector ortogonal resolviendo$ax + by + cz = 0$.

Quiero encontrar el vector ortogonal (unidad) "más vertical", donde se maximiza$z$. Debe haber una solución de forma cerrada simple a esto, ¿verdad?

Answer 1

Usando la observación hecha por dtldarek en su respuesta, usted está buscando el vector unitario en el plano generado por$w=(a,b,c)$ y$e_3=(0,0,1)$ que es perpendicular a$w$ y tiene un porcentaje no negativo$z$-coordinar. Observe que dicho vector también es perpendicular a$e_3\times w$, por lo que el vector que busca es$w\times(e_3\times w)$, normalizado.

Answer 2

La reformulación de su problema (y la adición de una condición), se le da un vector $\vec{v}=\langle a,b,c\rangle$ y desea encontrar un vector $\vec{w}=\langle x,y,z\rangle$, de modo que

1. $\vec{w}\cdot\vec{v}=0$,
2. $\|\vec{w}\|=1$
3. $\vec{w}\cdot\vec{e}_3$ es maximizada

Como estado, que desea maximizar $z$ sujeto a \begin{align*} ax+by+cz&=0\\ x^2+y^2+z^2&=1 \end{align*}

Tal vez un multiplicador de Lagrange enfoque sería bueno aquí: \begin{align*} 0&=\lambda a+2\mu x\\ 0&=\lambda b+2\mu y\\ 1&=\lambda c+2\mu z\\ 0&=ax+by+cz\\ 1&=x^2+y^2+z^2 \end{align*}

Realmente debemos asumir que $a$ $b$ no son ambos cero, porque de lo contrario $\vec{v}$ puntos en vertical y no hay ortogonal, apuntando hacia arriba vectores.

• Si $\mu=0$, entonces tenemos que $\lambda=\frac{1}{c}$ (e $c\not=0$), pero, a continuación, las dos primeras ecuaciones se $0=\frac{a}{c}$$0=\frac{b}{c}$, lo $a=0=b$ Esto contradice nuestra suposición, así que estamos bien.

• Si $\mu\not=0$, entonces podemos resolver para $x$, $y$, y $z$: \begin{align*} x&=-\frac{\lambda a}{2\mu}\\ y&=-\frac{\lambda b}{2\mu}\\ z&=\frac{1-\lambda c}{2\mu} \end{align*} Podemos sustituir estos en la cuarta ecuación (y cancelar el $2\mu$'s) para obtener $$ -\lambda^2-\lambda b^2-\lambda c^2+c=0. $$ Ahora, tenemos que hacer las cosas más simples mediante la adición de la suposición de que $\langle a,b,c\rangle $ es un vector unitario, por lo tanto podemos reescribir esta ecuación como $c=\lambda$. Si no, utilizamos $c=\lambda\|\vec{v}\|$ a lo largo del resto de este problema.

Por lo tanto, \begin{align*} x&=-\frac{ac}{2\mu}\\ y&=-\frac{bc}{2\mu}\\ z&=\frac{1-c^2}{2\mu} \end{align*} La sustitución de todo esto en la última ecuación nos da $$ 4\mu^2=a^2c^2+b^2 c^2+1-2c^2+c^4=(a^2+b^2+c^2)c^2+1-2c^2. $$ Por lo tanto $$ 4\mu^2=1-c^2 $$ o $$ \mu=\pm\sqrt{\frac{1-c^2}{4}} $$ Sustituyendo en las fórmulas para $x,y,z$ da que \begin{align*} x&=\mp\frac{ac}{\sqrt{1-c^2}}\\ y&=\mp\frac{bc}{\sqrt{1-c^2}}\\ z&=\pm\frac{1-c^2}{\sqrt{1-c^2}} \end{align*} Dependiendo de los signos, se debe obtener la más grande y más pequeño que el $z$ (siempre he hecho sin errores).

Answer 3

Suponiendo que$\mathbb{R}^3$, un enfoque geométrico sería observar que la solución pertenecería al plano generado por$(a,b,c)$ y$(0,0,1)$. Esto obliga a que la proporción entre$x$ y$y$ sea la misma que entre$a$ y$b$. En otras palabras, tenemos dos ecuaciones:

ps

Si$$\begin{cases}ax+by+cz=0\\ay-bx=0\end{cases}$, entonces$c = 0$ es la solución para cualquier$(0,0,z)$. De lo contrario, si$z>0$ y$x=ka$, entonces$y=kb$ y$k(a^2+b^2)+cz=0$. Para maximizar$z=-k\frac{a^2+b^2}{c}$ asegúrese de$z$, es decir,$z\geq 0$.

Espero que esto ayude $k\cdot c \leq 0$