Como se ha señalado en varios comentarios, la integral no está bien definida en el sentido habitual si el denominador tiene cero en algún $q \in (-1, 1)$ . En su lugar, podemos considerar la siguiente versión regularizada
$$ \tilde{\varphi}(h,A,B) := -\frac{1}{4\pi^2} \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{0}^{\infty} \left( \operatorname{PV} \int_{-1}^{1} \frac{1-q^2}{q^4 - Aq^2 - B} e^{ihkq} \, dq \right) e^{-\epsilon k} \, dk. \tag{1} $$
Escribimos $\alpha = \frac{1}{2}(\sqrt{A+4B} + A)$ y $\beta = \frac{1}{2}(\sqrt{A+4B} - A)$ . Entonces
$$ \frac{1-q^2}{q^4 - Aq^2 - B} = \frac{1-q^2}{(q^2 + \beta)(q^2 - \alpha)}. $$
Si $\alpha \geq 1$ entonces no tiene ninguna singularidad en $[-1 ,1]$ (al resolver la posible singularidad en $q = \pm 1$ cuando $\alpha = 1$ ). De lo contrario, los polos en $p = \pm \sqrt{\alpha}$ debe tenerse en cuenta. Así que nos dividimos en casos.
Caso I. Supongamos primero que $\alpha \geq 1$ que convierte el valor principal interno en una integral de Lebesgue genuina. Bajo este supuesto, tenemos la estimación uniforme
$$ \forall q \in (-1,1), \qquad \left| \frac{1-q^2}{q^4 - Aq^2 - B} \right| =\frac{1-q^2}{(q^2 + \beta)(\alpha - q^2)} \leq \frac{1}{\beta}, \tag{2}$$
por lo que se aplica el teorema de Fubini y tenemos
\begin {align*} \tilde { \varphi }(h,A,B) &= - \frac {1}{4 \pi ^2} \lim_ { \epsilon \to 0^+} \int_ {-1}^{1} \int_ {0}^{ \infty } \frac {1-q^2}{q^4 - Aq^2 - B} e^{ihkq}e^{- \epsilon k} \N - dkdq \\ &= - \frac {1}{4 \pi ^2} \lim_ { \epsilon \to 0^+} \int_ {-1}^{1} \frac {1-q^2}{q^4 - Aq^2 - B} \cdot \frac {1}{ \epsilon - ihq} \N - dq. \end {align*}
Ahora la integral interna está lista para ser calculada. Efectivamente, utiliza la simetría para escribir
$$ = -\frac{1}{4\pi^2} \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{-1}^{1} \frac{1-q^2}{q^4 - Aq^2 - B} \cdot \frac{\epsilon}{\epsilon^2 + h^2q^2} \, dq. $$
Según la norma aproximación a la identidad comprobamos fácilmente que este límite converge a
$$ = -\frac{1}{4\pi^2} \cdot \frac{\pi}{h} \left( \left. \frac{1-q^2}{q^4 - Aq^2 - B}\right|_{q=0} \right) = \frac{1}{4\pi Bh}. $$
Como alternativa, utilice la sustitución $hq = \epsilon t$ y observe que el integrando de
$$ \tilde{\varphi}(h,A,B) = -\frac{1}{4\pi^2} \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{-h/\epsilon}^{h/\epsilon} \frac{1-(\epsilon t/h)^2}{(\epsilon t/h)^4 - A(\epsilon t/h)^2 - B} \cdot \frac{1}{h(1+t^2)} \, dt. $$
está dominado por $\frac{1}{\beta h(1+t^2)}$ en vista de $\text{(2)}$ de nuevo. Así que podemos invocar el teorema de convergencia dominada para obtener la misma respuesta.
Caso II. Supongamos a continuación que $\alpha < 1$ para que el valor principal interno no pueda reducirse a la integral ordinaria. Para resolver este caso, extraemos la contribución de los polos en $p = \pm \sqrt{\alpha}$ . En primer lugar, hay que tener en cuenta que
$$ \underset{q = \pm \sqrt{\alpha}}{\operatorname{Res}} \, \frac{1-q^2}{q^4 - Aq^2 - B} = \pm \frac{1-\alpha}{2\sqrt{\alpha}(2\alpha - A)} =: \pm C. $$
Ahora elige $\delta > 0$ lo suficientemente pequeño como para que $0 < \alpha - \delta < \alpha + \delta < 1$ y una función uniforme y suave $\eta \in C_c^{\infty}(\Bbb{R})$ que es $1$ cerca de $0$ y se desvanece fuera $(-\delta, \delta)$ . Entonces consideremos la siguiente función
$$ f(q) = \frac{C}{q - \sqrt{\alpha}} \eta(q - \sqrt{\alpha}) - \frac{C}{q + \sqrt{\alpha}} \eta(q + \sqrt{\alpha}). $$
Esta función está diseñada para anular los polos de $(1-q^2)/(q^4 - Aq^2 - B)$ en $q = \pm \sqrt{\alpha}$ por lo que podemos escribir
\begin {align*} & \operatorname {PV} \int_ {-1}^{1} \frac {1-q^2}{q^4 - Aq^2 - B} e^{ihkq} \, dq \\ & \hspace {1em} = \int_ {-1}^{1} \left ( \frac {1-q^2}{q^4 - Aq^2 - B} - f(q) \right ) e^{ihkq} \N - dq + \operatorname {PV} \int_ {-1}^{1} f(q) e^{ihkq} \N - dq. \end {align*}
El integrando del primer término se extiende ahora a un continuo como función de $q$ en $[-1, 1]$ . Así que se puede resolver con la misma idea que en el caso anterior. Esto da
\begin {align*} &- \frac {1}{4 \pi ^2} \lim_ { \epsilon \to 0^+} \int_ {0}^{ \infty } \left ( \int_ {-1}^{1} \left ( \frac {1-q^2}{q^4 - Aq^2 - B} - f(q) \right ) e^{ihkq} \N - dq \right ) e^{- \epsilon k} \N, dk \tag {3} \\ & \hspace {4em} = - \frac {1}{4 \pi ^2} \cdot \frac { \pi }{h} \left ( \left. \frac {1-q^2}{q^4 - Aq^2 - B} - f(q) \right |_{q=0} \right ) \\ & \hspace {5em} = \frac {1}{4 \pi Bh}. \end {align*}
Para el segundo término, escribimos
\begin {align*} \operatorname {PV} \int_ {-1}^{1} f(q) e^{ihkq} \N, dq &= C \cdot \operatorname {PV} \int_ {- \infty }^{ \infty } \frac {e^{ihk(q+ \sqrt { \alpha })} - e^{ihk(q- \sqrt { \alpha })}}{q} \, \eta (q) \N, dq \\ &= C \int_ {- \infty }^{ \infty } \frac { \cos (hk(q+ \sqrt { \alpha })) - \cos (hk(q- \sqrt { \alpha }))}{q} \, \eta (q) \N - dq. \end {align*}
Utilizando las identidades trigonométricas, es fácil comprobar que el integrando está uniformemente acotado por $2kh |\eta(q)|$ . Así que podemos invocar el teorema de Fubini para escribir
\begin {align*} & \int_ {0}^{ \infty } \left ( \operatorname {PV} \int_ {-1}^{1} f(q) e^{ihkq} \N, dq \right ) e^{- \epsilon k} \N, dk \tag {4} \\ & \hspace {2em} = \int_ {- \infty }^{ \infty } \frac {C}{q} \left ( \frac { \epsilon }{ \epsilon ^2 + h^2(q+ \sqrt { \alpha })^2} - \frac { \epsilon }{ \epsilon ^2 + h^2(q- \sqrt { \alpha })^2} \right )\, \eta (q) \N, dq \\ & \hspace {2em} = - \epsilon \int_ {- \infty }^{ \infty } \frac {2 \sqrt { \alpha }C h^2}{ \left ( \epsilon ^2 + h^2(q+ \sqrt { \alpha })^2 \right ) \left ( \epsilon ^2 + h^2(q- \sqrt { \alpha })^2 \right )}\, \eta (q) \N, dq \\ & \hspace {2em} = \mathcal {O}( \epsilon ) \quad \text {como } \epsilon \to 0^+. \end {align*}
Por $\text{(3)}$ y $\text{(4)}$ , volvemos a tener $\tilde{\varphi}(h,A,B) = 1/(4\pi Bh)$ .
Combinando todo, hemos demostrado que
$$ \tilde{\varphi}(h,A,B) = \frac{1}{4\pi Bh} $$
Observaciones.
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Cuando $\alpha \geq 1$ el proceso de regularización en $\text{(1)}$ es innecesario. De hecho, la integración por partes muestra que
$$ \int_{-1}^{1} \frac{1-q^2}{q^4 - Aq^2 - B} e^{ihkq} \, dq = \begin{cases} \mathcal{O}(k^{-2}), & \alpha > 1 \\ \\ -\dfrac{2\sin(hk)}{(1+\beta)hk} + \mathcal{O}(k^{-2}), & \alpha = 1. \end{cases} $$
En consecuencia, $\varphi(h, A, B)$ está bien definida para $\alpha > 1$ . Entonces la versión regularizada se reduce a la versión original y por lo tanto $$\varphi(h,A,B) = \tilde{\varphi}(h,A,B) = \frac{1}{4\pi Bh}. $$
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Por otro lado, la velocidad de decaimiento es lo suficientemente peor como para que la regularización exponencial en $\text{(1)}$ es esencial para $\alpha < 1$ . De hecho, un comentario similar se aplica a $\text{(3)}$ , demostrando que
$$ \int_{-1}^{1} \left( \frac{1-q^2}{q^4 - Aq^2 - B} - f(q) \right) e^{ihkq} \, dq = \mathcal{O}(k^{-2}). $$
Sin embargo, la parte restante satisface
$$ \operatorname{PV} \int_{-1}^{1} f(q) e^{ihkq} \, dq = -2C \sin (hk\sqrt{\alpha}) \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin q}{q} \, \eta\left(\frac{q}{hk}\right) \, dq \sim -2C\pi \sin (hk\sqrt{\alpha}) $$
como $k \to \infty$ .
