Matemáticas discretas probabilidad moneda sesgada

Question

Si una moneda sesgada sale cara con probabilidad $\frac{3}{7}$ y colas con probabilidad $\frac{4}{7}$ se voltea $80$ veces, ¿cuál es la probabilidad de que salga cara $30$ ¿tiempos?

He utilizado la distribución binomial por lo que obtengo $$ {80 \choose 30}\left(\frac{3}{7}\right)^{30}\left(\frac{4}{7}\right)^{50}\\ =\frac{80!}{30!50!}\left(\frac{3}{7}\right)^{30}\left(\frac{4}{7}\right)^{50} $$

¿Es correcto?

Answer 1

Estoy de acuerdo con el comentario anterior.

Por supuesto, supongo que debería añadir que se distribuyen de forma independiente. Esto es correcto entonces.

¿Y que no estás hablando de 30 cabezas seguidas, o de una secuencia específica de 30 cabezas? Esto es correcto

Como observará, el valor de probabilidad ~ $0.057$ se acerca a la probabilidad máxima de obtener $n$ cabezas en $80$ que se produce aproximadamente a las $n=34$ (aproximadamente $3/7 \times 80$ ) que es generalmente el valor de frecuencia más probable, valor específico para los ensayos IID, cuando se están considerando todas las combinaciones posibles que podrían conducir a esa frecuencia relativa y no una secuencia singular o específica.

Esto es así en la medida en que la frecuencia relativa se acerca más a la permutación de los valores de probabilidad.

Asintóticamente hablando, la probabilidad de obtener ese valor exacto frecuencia=valor de probabilidad, disminuye (en particular si p=0,5) como $n$ crece hasta el infinito, pero la probabilidad de obtener aproximadamente ese valor de frecuencia relativa, aumenta, y converge hacia $1$ , y por eso a medida que n va a infinito uno, decimos que la probabilidad de obtener ese valor de frecuencia relativa es uno.

En nuestro sistema numerado real, los valores de frecuencia relativa infinitesimalmente cercanos a $0.5$ se tratan como $0.5$ si la frecuencia de desviación, se limita a cero (y se trata como cero) y no puede expresarse mediante un número real

por ejemplo : $$\frac{[0.5 \times n] + 10]}{n}\,\text{ as}\, n \to \infty\, \text{will be treated as } = 0.5$$

Por cierto, en el análisis no estándar, sin embargo, esto se hace a menudo más riguroso

Como la desviación de la frecuencia podría necesitar ser incontablemente más pequeña, para que no se califique como una cantidad infinitesimal no nula, de lo contrario, el valor de la frecuencia relativa podría calificarse como distinto (en valor) de $0.5$ .

$[0.5+ \delta] \neq 0.5$ donde $\delta$ es una cantidad infinitesimal, $\delta \neq 0$ en análisis no estándar)

En caso contrario

$$\text{Otherwise, in the strong law of large numbers, both the probability} \,1\,\text{term, may be replaced with}\, '(1- \epsilon)\, \text{ and the term}' \, \text{|prob-relfreq|', qualified by}\, '<\epsilon'\,\text{in non-standard analysis approaches to probability and measure theory}$$ .

Como las cantidades infinitas se tratan de forma similar a las cantidades finitas en los enfoques no estándar (de modo que la probabilidad de obtener esa frecuencia relativa límite exacta = probabilidad en los ensayos IID sería bastante baja, (en el análisis no estándar) .

Mientras que en el análisis estándar no se podría decir, sino calificar esto en su lugar como esa "frecuencia exacta" en la que las frecuencias diferentes se califican como la misma frecuencia relativa .

A diferencia, quizá, de los análisis no estándar.