Utilizando el método de los residuos, compruebe lo siguiente.
$$\int_0^{\pi} \frac{d \theta}{(3+2cos \theta)^2} = \frac{3 \pi \sqrt{5}}{25}$$
He intentado hacer esto, pero no puede obtener la respuesta correcta, aquí va mi intento:
primero he sustituido $cos \theta = \frac{z+ \frac{1}{z}}{2}$ $d \theta = \frac{dz}{iz}$ y consiguió $\int_0^{\pi} \frac{dz}{iz(3+z+\frac{1}{z})^2}$
entonces me multiplica la parte superior y la parte inferior de mi $iz$, de modo que el $i$ se mueve a la parte superior y en la parte inferior tendré $z^2$ por lo que se puede distribuir en el resto de y obtener un $-i \int_0^{\pi} \frac{zdz}{(3z+z^2+1)^2}$
el denominador tiene dos ceros en las $-\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{5}{4}}$, ya que el denominador es el cuadrado de la función de los postes aquí de orden dos.
La he usado de Cauchy del teorema de los Residuos, pero primero necesitaba encontrar el residuo de a $-\frac{3}{2} + \sqrt{\frac{5}{4}}$ porque sólo este polo está en el interior del círculo unidad.
He encontrado el residuo usando el teorema 1 en la página pdf 324/579 de este libro de texto http://english-c.tongji.edu.cn/_SiteConf/files/2014/05/05/file_53676237d7159.pdf
Después de encontrar el residuo usando esa fórmula y la aplicación de cauchy del teorema de los residuos no tengo una respuesta cercana a $\frac{3 \pi \sqrt{5}}{25}$
No estoy seguro de cómo manejar el hecho de que la integral es de $0$ $\pi$en lugar de$0$$2\pi$, y no estoy seguro de si he cometido algún error a la hora de encontrar los polos y de los residuos.