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¿Cómo resolver esta integral utilizando el método de los residuos?

Utilizando el método de los residuos, compruebe lo siguiente.
$$\int_0^{\pi} \frac{d \theta}{(3+2cos \theta)^2} = \frac{3 \pi \sqrt{5}}{25}$$

He intentado hacer esto, pero no puede obtener la respuesta correcta, aquí va mi intento:
primero he sustituido $cos \theta = \frac{z+ \frac{1}{z}}{2}$ $d \theta = \frac{dz}{iz}$ y consiguió $\int_0^{\pi} \frac{dz}{iz(3+z+\frac{1}{z})^2}$

entonces me multiplica la parte superior y la parte inferior de mi $iz$, de modo que el $i$ se mueve a la parte superior y en la parte inferior tendré $z^2$ por lo que se puede distribuir en el resto de y obtener un $-i \int_0^{\pi} \frac{zdz}{(3z+z^2+1)^2}$

el denominador tiene dos ceros en las $-\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{5}{4}}$, ya que el denominador es el cuadrado de la función de los postes aquí de orden dos.

La he usado de Cauchy del teorema de los Residuos, pero primero necesitaba encontrar el residuo de a $-\frac{3}{2} + \sqrt{\frac{5}{4}}$ porque sólo este polo está en el interior del círculo unidad.

He encontrado el residuo usando el teorema 1 en la página pdf 324/579 de este libro de texto http://english-c.tongji.edu.cn/_SiteConf/files/2014/05/05/file_53676237d7159.pdf

Después de encontrar el residuo usando esa fórmula y la aplicación de cauchy del teorema de los residuos no tengo una respuesta cercana a $\frac{3 \pi \sqrt{5}}{25}$

No estoy seguro de cómo manejar el hecho de que la integral es de $0$ $\pi$en lugar de$0$$2\pi$, y no estoy seguro de si he cometido algún error a la hora de encontrar los polos y de los residuos.

8voto

Roger Hoover Puntos 56

Por la sustitución de $\theta=2\varphi$ y el coseno de la duplicación de la fórmula que hemos

$$ I = \int_{0}^{\pi}\frac{d\theta}{(3+2\cos\theta)^2} = 2\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\varphi}{(1+4\cos^2\varphi)^2} \tag{1}$$ y por la sustitución de $\varphi=\arctan t$ el problema se reduce a la evaluación de $$ 2\int_{0}^{+\infty}\frac{(1+t^2)}{(5+t^2)^2}\,dt = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{(1+t^2)}{(5+t^2)^2}\,dt.\tag{2}$$ La función de meromorphic $f(t)=\frac{(1+t^2)}{(5+t^2)^2}$ tiene un doble polo a $t=\pm i\sqrt{5}$ y se comporta como $\frac{1}{t^2}$$|t|\to +\infty$. Por el residuo teorema se sigue que:

$$ I = 2\pi i\,\text{Res}(f(t),t=i\sqrt{5}) =2\pi i\lim_{t\to i\sqrt{5}}\frac{d}{dt}\frac{(1+t^2)}{(t+i\sqrt{5})^2}=\color{red}{\frac{3\pi}{5\sqrt{5}}}\tag{3}$$ como quería, después de un sencillo cálculo.


También hay un simple enfoque geométrico. $\rho(\theta)=\frac{p}{1+\varepsilon\cos\theta}$ es el polo de la ecuación de una elipse con respecto a un foco. Puesto que el área en coordenadas polares es dada por $\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\rho(\theta)^2\,d\theta$, $I$ sólo depende del área de una elipse ($\pi ab $) con una excentricidad y una determinada semi-latus recto. Esto demuestra la más general $$ \int_{0}^{\pi}\frac{d\theta}{(u+v\cos\theta)^2} = \frac{\pi u}{\left(u^2-v^2\right)^{3/2}} \tag{4}$$ tan pronto como $0<v<u$.

7voto

schooner Puntos 1602

Nota $$\int_0^{\pi} \frac{d \theta}{(3+2cos \theta)^2} = \frac12\int_0^{2\pi} \frac{d \theta}{(3+2cos \theta)^2}.$ $ Let $z=e^{i\theta}$y por lo tanto uno tiene\begin{eqnarray} &&\int_0^{\pi} \frac{d \theta}{(3+2cos \theta)^2}\\ &=&\frac12\int_0^{2\pi} \frac{d \theta}{(3+2cos \theta)^2}\\ &=&\frac12\int_{|z|=1}\frac{1}{(3+z+z^{-1})^2}\frac{dz}{iz}\\ &=&\frac12\int_{|z|=1}\frac{z}{(z^2+3z+1)^2}dz\\ &=&\pi\text{Res}(f(z),z=\frac{1}{2}(-3+\sqrt5))\\ &=& \frac{3 \pi \sqrt{5}}{25} \end{eqnarray} donde $f(z)=\frac{z}{(z^2+3z+1)^2}$ tiene un polo en $z=\frac{1}{2}(-3+\sqrt5)$.

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