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El conjunto de $S=\{a+1,a+2, a+3,\dots,a+2015,a+2016\}$ con números primos exactamente 20

Considere un conjunto $S=\{a+1,a+2, a+3,\dots,a+2015,a+2016\}$ donde $a$ es un entero positivo.

La pregunta es para probar que existe un número $a$ de manera tal que el conjunto que contiene exactamente $20$ números primos.

Ya sé que, denotando $a=2016!+1$, la $S$ se queda con ninguna de los números primos. Y si $a=0$ existe más de $20$ números primos. Así que por la intuición en algún lugar entre el $0<a<2016!+1$ hay un número $a$ que hace el truco.

Hay más profunda o de manera más formal para probar esto, o incluso encontrar un valor exacto para $a$?

Gracias por sus respuestas.

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quasi Puntos 236

Usted tiene la idea correcta.

Sólo mantener el incremento de $a$, a partir de con $a=1$.

Dado un valor de $a$, luego en el siguiente paso

  • Si $a+1$ es primo, usted perderá el primer.$\\[2pt]$
  • Si $a+2017$ es primo, usted ganará la que prime.

De ello se deduce que en un solo paso, nunca se puede perder más de un primo, o un aumento de más de un primo. Por lo tanto, en cada paso, el número de números primos, ya sea que no cambia, o cambia por exactamente uno, $1$ o $1$ abajo.

Desde la cuenta comienza más de $20$ y, como usted ha dicho, que la cuenta llegue a cero para algún valor $a$, luego de algunos $a$ a lo largo del camino, el conteo debe ser exactamente $20$.

Para un sistema más formal de la justificación de esta última afirmación, se puede invocar el principio de buena ordenación . . .

Para $a \in \mathbb{Z}^{+}$, vamos a $f(a)$ el número de números primos en el conjunto de $\{a+1,...,a+2016\}$.

El objetivo es mostrar que la $f(a)=20$, para algunas de las $a \in \mathbb{Z}^{+}$.

Deje $S = \{a \in \mathbb{Z}^{+} \mid f(a) \le 20\}$.

Sabemos $f(a) = 0$ para algún entero positivo $a$, lo $S$ es no vacío, por tanto, por el principio de orden, $S$ tiene al menos un elemento, $b$ decir.

Desde $b \in S$,$f(b) \le 20$.

Reclamación $f(b)=20$.

Sabemos $1 \notin S$, lo $b > 1$.

Por elección de $b$, debemos tener $f(b-1) > 20$, por lo tanto $f(b-1) \ge 21$.

Pero sabemos que en la transición de la $a=b-1$$a=b$, el número de números primos no puede ir hacia abajo por más de $1$, por lo tanto

\begin{align*} &f(b) \ge f(b-1)-1\\[4pt] \implies\;&f(b) \ge 20\\[4pt] \implies\;&20 \le f(b) \le 20\\[4pt] \implies\;&f(b) = 20\\[4pt] &\text{as claimed.}\\[4pt] \end{align*}

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