¿Existe una función que devuelva el grado de un polinomio?

Question

Estoy jugando con algunas ecuaciones en Geogebra y el grado de los polinomios que estoy utilizando se ha convertido en una variable. Existe un método exacto para determinar el grado de un polinomio?

Actualmente estoy aproximando el grado de $f(x)$ utilizando:

$$\text{Degree}(f(x)) = \lfloor\log_{1000}(f(1000))\rfloor$$

Esta ha sido una aproximación bastante decente, pero me hizo preguntarme si existe o no un método preciso. Uno que pueda aplicarse a polinomios de grado no entero.

Answer 1

En general, si $f(x)$ es un polinomio de grado $n$ entonces $$\lim_{x\to\infty} \frac{\log(|f(x)|)}{\log(x)} = n$$

Esto funciona porque, para valores grandes de $x$ Tendríamos $|f(x)| \approx |a_n| x^n$ , donde $a_n$ es el coeficiente principal, y por lo tanto $\log(|f(x)|) \approx \log(|a_n|) + n\log(x)$ . Divida esto por $\log(x)$ y obtenemos $\frac{\log(|f(x)|)}{\log(x)} \approx \frac{\log(|a_n|)}{\log(x)} + n$ . En el límite como $x \to \infty$ el primer término va a $0$ .

Además, aunque $f(x)$ es no un polinomio, sino (digamos por ejemplo) algo como $f(x) = x^{1/2} - 3x^{1/3}$ este método funciona, ya que devuelve el mayor exponente no negativo entre los términos; en este caso, obtenemos $1/2$ .

Answer 2

Según el GeoGebra wiki la función que buscas es Degree[<Polynomial] . Si tiene un polinomio en varias variables, también puede utilizar Degree[<Polynomial>,<Variable>] para obtener el grado del polinomio en la variable especificada.