Para probar la desigualdad:-$\frac{4^m}{2\sqrt{m}}\le\binom{2m}{m}\le\frac{4^m}{\sqrt{2m+1}}$

Question

Problema Statment:-

Demostrar:-$$\dfrac{4^m}{2\sqrt{m}}\le\binom{2m}{m}\le\dfrac{4^m}{\sqrt{2m+1}}$$

Mi Intento:-

Empezamos con $\binom{2m}{m}$ (así que era obvio), para obtener

$$\binom{2m}{m}=\dfrac{2^m(2m-1)!!}{m!}$$

Ahora, desde la $2^m\cdot(2m-1)!!\lt2^m\cdot2^m\cdot m!\implies \dfrac{2^m\cdot(2m-1)!!}{m!}\lt 4^m$

$$\therefore \binom{2m}{m}=\dfrac{2^m(2m-1)!!}{m!}\lt4^m$$

También, $$2^m\cdot(2m-1)!!\gt2^m\cdot(2m-2)!!\implica 2^m(2m-1)!!\gt2^m\cdot2^{m-1}\cdot(m-1)!\\ \implica \dfrac{2^m\cdot(2m-1)!!}{m.}\gt\dfrac{4^m}{2m}$$

Así que, todo lo que tengo a se $$\dfrac{4^m}{2m}\lt\binom{2m}{m}\lt4^m$$

Así que, si alguien me puede sugerir algunas modificaciones a mi prueba para llegar al resultado final, o justo después de un todo diferente y no de inducción basado en la prueba.

Answer 1

Tomando el producto de los coeficientes de los términos de la da $$ \binom{2n}{n}=\prod_{k=1}^n4\frac{k-1/2}{k}\etiqueta{1} $$ Bernoulli la Desigualdad dice $$ \sqrt{\frac{k-1}k}\le\frac{k-1/2}{k}\le\sqrt{\frac{k-1/2}{k+1/2}}\etiqueta{2} $$ La aplicación de $(2)$$(1)$, obtenemos $$ \frac{4^n}{2\sqrt{n}}\le\binom{2n}{n}\le\frac{4^n}{\sqrt{2n+1}}\etiqueta{3} $$

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En esta respuesta, se muestra que $$ \frac{4^n}{\sqrt{\pi\left(n+\frac13\right)}}\le\binom{2n}{n}\le\frac{4^n}{\sqrt{\pi\left(n+\frac14\right)}}\tag{4} $$ que es mucho más estrecha de la estimación.

Answer 2

Sugerencia: Que $a_m={2m\choose m}$. Utilizar la conocida recurrencia $$a_1=2, \qquad a_m=(4-2/m) \cdot a_{m-1}.$ $

Answer 3

Puede utilizar la fórmula de Stirling para el límite inferior: $$ \binom{2m}{m}=\frac{(2m)!} {(m!) ^ 2} = \frac{\left (\frac {2 m} {e} \right) ^ {2 m} \sqrt {2\pi2m}} {\left (\left (\frac {m} {e} \right) ^ {m} \sqrt {2\pi m}\right)^2}(1+o(1)) \ge 2 ^ {2 m} \frac {\sqrt {4\pi m}} {2\pi m} = \frac {4 ^ {m}} {\sqrt {\pi m}} \ge\frac {4 ^ {m}} {2\sqrt {m}}. $$