Si un subgrupo normal $N$ de orden $p$($p$ prime) está contenido en un grupo $G$ $p^n$ de la orden, entonces es en el centro de $N$ $G$.

Question

Si un subgrupo normal $N$ de fin de $p$($p$ prime) está contenida en un grupo de $G$ orden $p^n$, $N$ está en el centro de la $G$.

Quiero usar la inducción para probar esto:

Es trivial cuando se $G=p(n=1)$, asumir $G=p^n$, $N$ es un subgrupo normal en $G$ con el fin de $p$. Desde $G$ es p-subgrupo, $G$ tiene un subgrupo normal $H$ con el fin de $p^{n-1}$,de acuerdo a asunción, $N \subset C(H)$. Pero no sé cómo continuar, es $C(H)=C(G)$?Puede inducción de trabajo en este caso?

Answer 1

Observe que $N$ normal implica un homomorphism de $G \to Aut(N)$ (envío de $g$ a la función $\phi_{g} : x \to gxg^{-1}$ y el kernel es el centraliser de $N$$G$. Observe que $Aut(N)$ orden $p-1$, por lo que los dos grupos de $G$ $Aut N$ tienen relativamente primer órdenes y, por tanto, cualquier homomorphism es trivial. Por lo tanto, el núcleo debe ser el de todo el grupo, es decir, $G$ centralizado $N$, e $N$ está en el centro. Alternativamente, usted puede probar que si $H$ es no trivial normal subgrupo de $G$,$H \cap Z(G) \not = \lbrace 1 \rbrace$, y por lo tanto el resultado se sigue inmediatamente.

Answer 2

Hay una generalización bien conocida aquí: que $N \unlhd G$, $|N|=p$, la más pequeña primera división $|G|$, entonces el $N \subseteq Z(G)$.

La prueba se ejecuta en la misma línea como lo explica mich95: hay un homomorfismo inyectivo $G/C_G(N) \hookrightarrow Aut(N) \cong C_{p-1}$, por lo tanto es central $G=C_G(N)$, es decir, $N$.