Una pregunta acerca de los grupos: ¿Puedo sustituir yo una operación binaria con una función?

Question

Tengo una pregunta fundamental acerca de los grupos. Considere la definición de Wolfram Mathematica:

Un grupo es un conjunto finito o infinito de elementos, junto con una operación binaria (que se llama el grupo), que en conjunto satisfacen las cuatro propiedades fundamentales de cierre, la asociatividad, la identidad de la propiedad, y la propiedad inversa.

En esta definición, que pueda sustituir a una operación binaria con una función, algo como decir $f(a,b)$ donde $f$ no es necesariamente un operador simple como la suma?

Answer 1

Un par de puntos. Primero, se escribe "que pueda sustituir a una operación binaria con una función". Tenga en cuenta que una operación binaria es una función de la satisfacción de algunas propiedades adicionales. Y hay un montón de contextos en los que no es algo tan simple como la adición. Uno de los primeros ejemplos de resumen de grupos que se reúnen son permutación de grupos, donde la operación es la composición de las permutaciones. Este es, de hecho, sólo uno de los muchos ejemplos en los que los elementos del grupo son funciones de algún tipo (en este caso, una permutación es sólo un bijection en algunas conjunto finito). Desde la función de la composición es rara vez abelian, esta es una manera en que no abelian estructura surge "en la naturaleza". Si quieres ser lindo sobre él, por Cayley del teorema de que todos los grupos finitos incrustar en una permutación de grupo, todo el grupo de leyes sobre grupos finitos puede ser pensado como una función de la composición.

Answer 2

Supongo que la razón más grande para escribir $a+b / ab$ es que la ley de asociatividad se ve despejada.

Aquí está la notación de la función para la asociatividad: $f(a,f(b,c)) = f(f(a,b),c)$.

¿Aquí es 'normal' notación $(ab)c = a(bc)$ - que se ve mejor?