función.

Question

Hay una función que tiene estas propiedades?

Puntos:

• $f(1)=\tfrac{1}{2}$
• $f(-1)=-\tfrac{1}{2}$
• $f(0)=0$

Límites: $f$ es acotada entre $(-1,1)$:

• $\forall x\in\mathbb{R}: -1 < f(x) < 1$
• $\lim_{x\to \infty} f(x)=1$
• $\lim_{x\to -\infty} f(x)=-1$

Pistas: $f$ es estrictamente creciente para todos los $x\in\mathbb{R}$ y en $x=0$, $f'(x)=1$:

$$\frac{d}{dx}f(x)=\begin{cases}0<f'<1&:x<0\\1 &:x=0\\0<f'<1&:x>0 \end{cases}$$

Concavidad:

$$\frac{d^2}{dx^2}f(x) = \begin{cases}>0 &:x<0\\ 0 &:x=0\\ <0 &:x>0 \end{cases}$$

Suavidad: $f$ es infinitamente diferenciable y cada derivada es continua (o tal vez uniformemente continua):

$$\forall n\in\mathbb{N} : \forall x\in\mathbb{R} : \exists y\in\mathbb{R} : f^{(n)}(x) = y$$

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He probado $\tanh(x)$, $\frac{2}{\pi}\arctan(x)$, $\text{erf}(x)$, y que otros, pero todos ellos se falta al menos una de las propiedades mencionadas anteriormente. Hay uno que satisfaga a TODAS esas propiedades? Si es así, demostrar o mostrar un ejemplo.

A continuación se muestra un gráfico (en rojo) de el tipo de función que estoy buscando. La derivada es en verde y la 2ª derivada es en azul. (La función que se muestra es$\arctan x$, por lo que no es exactamente lo que estoy buscando.)

Answer 1

$$f(x)=\begin{cases}1-\frac1{1+x}&\text{if $x\ge0$,}\\\frac1{1-x}-1&\text{if $x<0$.}\end{cases}$$

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Bueno, técnicamente la respuesta correcta a la pregunta "¿existe una función que tiene estas propiedades?" es simplemente "Sí. De hecho, hay una cantidad no numerable." En principio, usted puede tomar la forma de la función sigmoidea que te gusta y lo ajusta para que coincida con todas sus condiciones. Aquí está una receta. Supongamos que tiene una función odd $s(x)$ satisfactorio $$\begin{gather} -\infty<\lim\limits_{y\to-\infty}s(y)\le s(x)\le\lim\limits_{y\to+\infty}s(y)<\infty,\\ s'(x)>0,\\ xs''(x)\le0 \end{reunir}$$ para todos los $x$. A continuación, $s_1(x)=s(x)/s'(0)$ ha derivado $1$$x=0$, y así no $s_2(x)=s_1(ax)/a$ cualquier $a$. Pick $a$, de modo que $s_2(1)=s_1(a)/a=\frac12,$ que siempre es posible debido a que $\lim\limits_{a\to0}s_1(a)/a=1$$\lim\limits_{a\to\infty}s_1(a)/a=0$. Por último, defina $f(x)=s_2(x)$$\lvert x\rvert\le1$, y extender $f$ a acercarse a la deseada asíntotas $\pm 1$$x\to\pm\infty$. No estoy seguro de cómo un alto grado de continuidad se puede garantizar en$x=\pm1$, mientras que el mantenimiento de la concavidad; ciertamente podemos conseguir $C^1$ dejando $$f(x)=1-\frac1{2+b(x-1)}$$ más de $x>1$, $b$ elegido para que coincida $s_2'(1)$, y del mismo modo sobre $x<-1$; probablemente también se puede obtener de $C^2$ a pesar de que no estoy tan seguro de eso.

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De todos modos, he aquí una completamente diferente, solución explícita. Podemos pensar en mi propuesta original como el extraño $f$ tal que $f(x)=1+a/(1+x)$$x\ge0$, lo que coincide con tres condiciones $f(0)=0$, $f(1)=\frac12$, $f'(0)=1$ para $a=1$. Si también queremos que el $f''(0)=0$, de modo que $f''$ es definido en todas partes, entonces sí necesitamos cuatro grados de libertad, así que vamos a $f(x)=1+a/(1+x)+b/(1+x)^2+c/(1+x)^3+d/(1+x)^4$$x\ge0$. Entonces tenemos una solución $a=-2$, $b=4$, $c=-5$, $d=2$, lo que conduce a $$f(x)=\begin{cases} \frac{x(x^3+2x^2+4x+1)}{(x+1)^4}&\text{if %#%#%},\\ -f(-x)&\text{if %#%#%}. \end{casos}$$

Answer 2

Jugando con el Mathematica me llevó a pensar a continuación podría funcionar:

$$f(x)=\left(\frac{2}{\pi }\right)^{1/3} \text{ArcTan}\left[\frac{\pi x^3}{2 \left(1+\frac{1}{2} x^2 \text{Cot}\left[\frac{\pi }{16}\right] \left(\pi -2 \text{Tan}\left[\frac{\pi }{16}\right]\right)\right)}\right]^{1/3}.$$

Answer 3

Se me ocurren dos respuestas adicionales (aparte de una escala de factor y el cambio):

1. La función logística $\frac{1}{1+e^{-t}}$; Esto es esencialmente el % tangente hiperbólico $\frac{e^t - e^{-t}}{e^t + e^{-t}}$.

2. La función de distribución normal acumulativa $\int_{-\infty}^x e^{-t^2} dt$ con escala apropiada dentro (probablemente con $-t^2/2$) y fuera (algo con $\sqrt{\pi}$).

Ambos de estos se parecen a la función que usted desea.