Notación de la raíz cuadrada y números negativos

Question

Es correcto escribir $i = \sqrt{-1}$?

Yo sé más que bien de que el complejo de la unidad $i$ está definido por $i^2 = -1$.

Aún así, el $\sqrt{()}$ notación generalmente permite a los siguientes manipulaciones:

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}$

Pero lo que me hace fruncir el ceño, cuando la lectura de $i = \sqrt{(-1)}$, es que el anterior truco puede ser usado para demostrar esta igualdad mal:

$i = \sqrt{(-1)}$

$i\cdot i = \sqrt{(-1)}\cdot\sqrt{(-1)}$

$i^2 = \sqrt{(-1)^2}$

$i^2 = \sqrt{1}$

$-1 = 1$

Sin embargo, yo realmente vienen a menudo a través de la gente de escribir o decir, con un montón de confianza, que $i = \sqrt{(-1)}$. De ahí mi pregunta:

• Es realmente bueno para escribir $i = \sqrt{-1}$?
• Es el razonamiento que escribí correcto o estoy esperando demasiado de la mera $\sqrt{()}$notación?

Gracias por sus respuestas.

Answer 1

Usted puede escribir $i = \sqrt{-1}$, pero tienes que tener cuidado con ella. Si se amplía la función de $\sqrt{\cdot} \colon [0,\infty) \to \mathbf R$, de alguna manera, decir a alguna función $\sqrt{\cdot} \colon \mathbf R \to \mathbf C$, no se puede esperar a tener las mismas propiedades que la función que ha empezado con el, solo porque le sucede a denotar con el mismo símbolo. Usted correctamente vio que cualquier extensión de $\sqrt{\cdot} \colon \mathbf R \to \mathbf C$ $\sqrt{x}^2 = x$ todos los $x\in \mathbf R$ no tienen la propiedad de que $$ \sqrt{a}\sqrt{b}= \sqrt{ab} $$ Sólo porque $$ \sqrt{-1}\sqrt{-1} = \sqrt{-1}^2 = -1 \ne 1 = \sqrt{(-1)(-1)} $$ Por lo tanto, se espera demasiado. Y para evitar que a partir de ella, prefiero no utilizar la notación.

Answer 2

Ver: Valor a Principal para entender cómo se utiliza el símbolo de raíz cuadrada por matemáticos. El argumento "confuso para principiantes" no parece convencerlos para que deje de usar esta notación.

Answer 3

Te equivocas cuando dices lo generalmente permite esa transformación. De hecho, el problema es que la transformación no se permite generalmente, está solamente permitido en casos especiales -, cuando $a$ y $b$ son no negativos. [Créeme: históricamente mucha confusión fue causada porque aun hay gente muy inteligente tomó un tiempo para comprender que esa transformación no era universalmente válida, por lo que no se siente mal se enganchó así.]

Answer 4

Tratando de definir el "yo" como $\sqrt{-1}$ conduce a problemas como usted sugiere. Mejor es definir el conjunto de todos los números complejos como pares de números reales (a, b) con la adición de "coordinar sabio", (a, b)+ (c, d)= (a+ c, b+ d), y la multiplicación se define como (a, b), (c, d)= (ac - bd, ad+ bc). Que satisfaga a todas las de la aritmética habitual propiedades de la adición y la multiplicación son asociativa, conmutativa, la multiplicación de distribuir a través de la adición, etc. Podemos pensar en los números reales como un subconjunto de los números complejos mediante la identificación del número real "x" con el par (x, 0). Y también tenemos (0, 1)(0, 1)= (0(0)- 1(1), 0(1)+ 1(0))= (-1, 0). Ya que (-1, 0) es identificado como el número real -1, denotando (0, 1) como "yo" da $i^2= -1$.