¿Raíz cuadrada de fracción imaginaria?

Question

Tengo una fracción -

$-\frac{1}{3}$

Lo que podría significar que el valor de la fracción es $\frac{-1}{3}$ o $\frac{1}{-3}$ Note the minus sign

Ahora, ¿cuál es la raíz cuadrada de la fracción? Lo intenté y obtuve esto -

$\sqrt{-\frac{1}{3}}$

$=\frac{i}{\sqrt3}$ o $\frac{1}{\sqrt3i}$

Ahora, ¿cuál es la raíz cuadrada real? ¿O es ambas cosas? ¿Me estoy equivocando en alguna parte? ¿Cuál debo utilizar en mis cálculos?

Answer 1

Buena pregunta. Has descubierto que no es posible definir una función raíz cuadrada en los números complejos que obedezca la regla $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}$ (o el equivalente $\sqrt{a/b}=\sqrt{a}/\sqrt{b}$ con $b\ne0$ ).

Se obtiene el mismo dilema, de forma más sencilla, considerando $$i=\sqrt{-1}=\sqrt{\frac{1}{-1}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}=\frac{1}{i}=-i$$ Nótese que esto es claramente erróneo, lo que no nos dice que las matemáticas sean contradictorias, sino que hemos utilizado una propiedad no demostrada (y no demostrable), a saber, que podemos definir una función de raíz cuadrada que satisfaga la regla anterior.

Obsérvese que el argumento falso produce los dos números complejos cuyo cuadrado es $-1$ lo mismo ocurre en tu argumento.

Una sugerencia: no utilizar nunca el símbolo $\sqrt{-1}$ porque sugiere la posibilidad de aplicar la propiedad equivocada. Ni el uso $\sqrt{z}$ por la misma razón, a menos que $z$ es un número real con $z\ge0$ .

Answer 2

En cierto sentido es ambas cosas, porque ambas $(\frac{i}{\sqrt{3}})^2$ y $(\frac{1}{\sqrt3 i})^2$ son iguales a $-\frac{1}{3}$ . Por lo tanto, se puede decir que ambas son raíces cuadradas de $-\frac{1}{3}$ .

Sin embargo, nos gusta $\sqrt x$ para ser una función, por lo que sólo puede dar un valor. Esto significa que tenemos que elegir cuál de los dos valores anteriores llamar el raíz cuadrada (o principal raíz cuadrada) de $-\frac{1}{3}$ .

El mismo problema se plantea con los números positivos: ambos $2$ y $-2$ cuadrado a $4$ . Con números positivos, estamos acostumbrados a elegir siempre la raíz positiva para llamar a el raíz cuadrada, es decir $\sqrt4 = 2$ y no $-2$ .

Sobre los números complejos, se pueden establecer diversas reglas para elegir la raíz cuadrada principal; una de ellas es "tomar la raíz que está en el plano medio superior (con la parte imaginaria positiva)". Según esta regla, que es la habitual que utilizan los matemáticos, $\frac{i}{\sqrt3}$ es la raíz principal. Pero bajo una regla diferente podría no serlo.

Answer 3

Como has podido comprobar tomando la unidad imaginaria en el numerador las dos raíces son simétricas: $r_1=\frac i{\sqrt3}$ y $r_2=-\frac i{\sqrt3}$ . Eso es porque cada número tiene 2 raíces cuadradas, 3 raíces cúbicas y así sucesivamente (al menos en el número complejo) y forman un n-polígono en el plano complejo (donde n es el índice de la raíz). Así que si no tienes otra condición en tu ecuación/ejercicio/fórmula tienes que considerarlas todas o, en el mayor de los casos puedes considerar la del primer cuarto, donde la parte real e imaginaria son ambas positivas.

Answer 4

No se puede utilizar la regla $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ cuando $a,b$ no son ambos positivos.