Ejemplos de dominios no-euclidiana que tienen divisor universal lateral

Question

Deje $R$ ser un anillo. Un valor distinto de cero nonunit elemento de $R$ es un llamado universal lado divisor si para cada elemento $x$ $R$ hay algún elemento $z$ $R$ tal que $u$ divide $x - z$ $R$ donde $z$ es cero o una unidad, es decir, no es un tipo de algoritmo de la división. Este concepto se utiliza para demostrar ejemplos de P. I. D. pero no Euclidiana.

La existencia de universales lado divisores es un debilitamiento de la distancia Euclídea condición. Busco ejemplos que son no-Euclidiana dominios que han universal lado divisores.

Answer 1

Tome $R$ a ser el siguiente sub-anillo de $\mathbb{Q}[x]$: $$ R = \{ P\in \mathbb{Q}[x] \ | \ P(0)\in \mathbb{Z} \}.$$

A continuación, $2$ es un universal lado del divisor. De hecho, las únicas unidades de $R$$\pm 1$, y un elemento $P$ $R$ es divisible por $2$ si y sólo si $P(0)$ es aún, por lo $P$ o $P-1$ es divisible por $2$.

Sin embargo, $R$ no es Euclidiana. De hecho, ni siquiera es la principal: el ideal $$ I = \{ P\in R \ | \ P(0)=0 \}$$ no es principal. De hecho, si era principal y generadas por $Q$, $Q$ tendría que ser de grado $1$, ya que el $x\in I$. Por otra parte, la única polinomios de grado $1$ $I$ sería enteros múltiplos de $Q$, por lo que algunos polinomios de grado $1$ lo haría falta en $I$, una contradicción.

Por lo tanto $R$ es un no-Euclidiana de dominio que contiene un universal lado del divisor.

Edit: De hecho, $R$ no es ni siquiera un UFD, ya $x$ es divisible por un número infinito de pares de no asociados, elementos irreductibles (para cualquier número primo $p$, $x = p \cdot \frac{x}{p}$). Esto implica que $R$ no puede ser principal o Euclidiana.