La lógica matemática define una declaración acerca de todos los elementos de un conjunto vacío para ser verdad. Esto se llama vacío de la verdad. Puede ser un poco confuso ya que no está de acuerdo con el común de uso cotidiano, donde hacer una declaración tiende a sugerir que hay un objeto para que la declaración contiene de hecho (como la persona en frente de usted en el ejemplo).
Pero es exactamente lo correcto a hacer en un formal de instalación, por varias razones. Una razón es que las expresiones lógicas no sugieren nada: usted no debe suponer ningún significado en exceso de lo que se indique explícitamente. Otra razón es que hace varias conversiones posible sin casos especiales. Por ejemplo,
$$\forall x\in(A\cup B):P(x)\;\Leftrightarrow
\forall x\in A:P(x)\;\wedge\;\forall x\in B:P(x)$$
holds even if $$ (or $B$) happens to be the empty set. Another example is the conversion between universal and existential quantification Barry Cipra used:
$$\forall x\in A:\neg P(x)\;\Leftrightarrow \neg\exists x\in A:P(x)$$
If you are into programming, then the following pseudocode snippet may also help explaining this:
bool universal(set, property) {
for (element in set)
if (not property(element))
return false
return true
}
As you can see, the universally quantified statement is only false if there exists an element of the set for which it does not hold. Conversely, you could define
bool existential(set, property) {
for (element in set)
if (property(element))
return true
return false
}
This is also similar to other empty-set definitions like
$$\sum_{x\in\emptyset}f(x)=0\qquad\prod_{x\in\emptyset}f(x)=1$$
Si todo el mundo en frente de usted es calvo, entonces usted está calvo.
Aplicando lo anterior a la instrucción de la pregunta: desde
$$\bigl(\forall y\en\text{Personas frente a }x: \operatorname{calvo}(y)
\bigr)\implica\operatorname{calvo}(x)$$
one can derive
$$\emptyset=\text{People in front of }x\implies\operatorname{bald}(x)$$
so yes, the first person must be bald because there is noone in front of him.
Some formalisms prefer to write the "People in front of" as a pair of predicates instead of a set. In such a setup, you'd see fewer sets and more implications:
$$\Bigl(\forall y: \bigl(\operatorname{persona}(y)\wedge(y\operatorname{infrontof}x)\bigr)\implica\operatorname{calvo}(y)
\Bigr)\implica\operatorname{calvo}(x)$$
If there is no $$ y satisfactoria para ambos predicados, entonces el lado izquierdo de la primera implicación es siempre falso, la representación de la implicación como un todo siempre la verdad, lo que nos permite concluir que la calvicie de la primera persona. El hecho de que una implicación con un falso antecedente es siempre verdadera es otra forma de vacuo de la verdad.
Nota: este comentario indica que Alicia en el país de las Maravillas fue lidiar con el vacío de la verdad en algún momento. Que debo volver a leer ese libro y citar ejemplos interesantes cuando encuentro el momento.
