Permítanme responder a la OP del lado de la pregunta:
"Como una nota del lado, también me di cuenta de que yo no conozco a ningún anillo cuyo campo de fracciones es $\mathbb{R}$."
Asegúrese de que usted haga: $\mathbb{R}$! Pero yo sé lo que significa: que se preguntan si hay una adecuada sub-anillo $R$ $\mathbb{R}$ tal que $\mathbb{R}$ es el campo de fracciones de $R$. La respuesta es sí. (Entre las opciones que se le brindan, me inclino hacia la segunda. La prueba de que sigue sin duda los usos de CA. Si se debe utilizar AC no es realmente mi bolsa, pero me imagino que sí.) Esto se deduce de la siguiente resultado más fuerte.
Teorema: Para un campo $K$, los siguientes son equivalentes:
(i) $K$ admite un trivial $\mathbb{R}$valores de la valoración.
(ii) $K$ es no algebraicas sobre un campo finito.
Este resultado queda demostrado en estas notas del curso de la mina. Bueno, al menos moralmente, en el momento en que me pueden localizar un Comentario en la página. 6 que va a ser probado y el resultado que es el contenido esencial, el Teorema de la 30b) en $\S$ 1.3:
Extensión del Teorema de Si $K$ es un campo y $|\cdot|$ es un trivial no Arquimedianos norma en $K$, es decir, que la toma de $-\log |\cdot|$ da un trivial $\mathbb{R}$valores (o de "rango"), de valoración, entonces para cualquier campo de la extensión $L/K$, la norma $|\cdot|$ se extiende a $L$.
A partir de esta por encima de prueba fácilmente de la siguiente manera: for (i) $\implies$ (ii) sólo se dará cuenta de que por cada elemento $x$ finito de orden en el grupo multiplicativo de un campo de $K$ debemos tener $|x| = 1$ por cada norma $|\cdot|$. Un campo de $K$ que es algebraica sobre un campo finito ha $K^{\times}$ una torsión de grupo: cada elemento tiene orden finito. Para (ii) $\implies$ (i) notificación de que cada campo de $K$ que no es algebraica sobre un campo finito puede ser expresado como una extensión del campo de cualquiera de las $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{F}_p(t)$, y cada uno de estos campos de la famosa frase lleva un montón de trivial no Arquimedianos normas. Aplicar el Teorema de Extensión de.
Para obtener una respuesta a su pregunta: vamos a $|\cdot|$ ser un trivial no Arquimedianos norma en $\mathbb{R}$ y deje $R$ ser de su valoración anillo. Este es de hecho un dominio adecuado en $\mathbb{R}$, con fracción de campo $\mathbb{R}$.
Ahora, finalmente, uno se podría preguntar: bien, anillos de existir, pero a quién le importa? Sin duda, esto es sólo una curiosidad. A lo que yo diría: usted debe leer esta nota de cuatro páginas de Pablo Monsky, publicado en el MENSUAL en 1970. Y es mejor aferrarse a su sombrero, mientras que la leas, y dar un poco de atención a sus calcetines así: están en grave peligro de ser derribado. Monsky del Teorema me fue presentado por Aaron Abrams en 2006. Fue, de hecho, mucho de la motivación por el material en la extensión de las valoraciones que se incluye en las notas que he ligado (aunque, lamentablemente, no he llegado a la redacción de la aplicación para Monsky del Teorema).
