Aquí hay un paralelepípedo. Quiero determinar el volumen del paralelepípedo.
Uno de mis amigos me dijo que el volumen del paralelepípedo se puede encontrar con la siguiente fórmula.
$$\text{Volumen}=|\vec a\cdot(\vec b\times \vec c)|$$
No puedo entender por qué y cómo funciona esta fórmula. ¿Alguien puede explicarlo con claridad?
Piénsalo de esta manera: el área del paralelogramo formado por los vectores $\vec{b}$ y $\vec{c}$ está dado por $|\vec{b} \times \vec{c}|$. Esto es fácil de ver porque el área de un paralelogramo es $base \times altura = c b \sin \theta$ donde $\theta$ es el ángulo entre $\vec{b}$ y $\vec{c}$.
Para obtener el volumen, necesitamos multiplicar esta área por la proyección de $\vec{a}$ a lo largo de la dirección perpendicular al paralelogramo formado por $\vec{b}$ y $\vec{c}$, que está dado por la fórmula que has mencionado porque $ \vec{b} \times \vec{c} $ es un vector perpendicular al plano (la idea es la misma - $base \times altura - la base ahora es un área en lugar de una longitud)
$$ e_i\times e_{i+1}:=e_{i+2}$$
Así tenemos $$ b\times c=|b||c|\sin\ \theta \overrightarrow{n}$$ donde $\theta$ es un ángulo entre $b$ y $c$ y $\overrightarrow{n}$ es un vector normal unitario al plano $P$ de $b$ y $c$
Aquí $|b||c|\sin\ \theta$ es el área del paralelópipedo de $b$ y $c$
Y $|a\cdot \overrightarrow{n}|$ es la altura por $a$ en dirección normal a $P$.
$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\DeclareMathOperator{\Vol}{Vol}$Aquí hay un esbozo de un argumento "moderno" típico que se generaliza a paralelepípedos en $\Reals^{n}$ para enteros positivos arbitrarios $n$.
La idea es introducir dos funciones de tripletes ordenados de vectores en $\Reals^{3}$:
El "volumen signado" $\Vol(a, b, c)$ del paralelepípedo abarcado por los vectores (en el orden dado);
El "producto triple" $$ a \cdot (b \times c) = \det\left[\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ \end{matrix}\right]; $$
y mostrar que estas funciones son idénticas. (La respuesta a la pregunta original sigue de inmediato tomando valores absolutos).
Guiados por retroceso, consideremos una función real general de tres vectores $f$. Decimos que $f$ es:
Multilineal si "$f$ es lineal en cada variable por separado"; es decir, $$ f(ta_{1} + a_{2}, b, c) = tf(a_{1}, b, c) + f(a_{2}, b, c)\quad \text{para todos los $a_{1}$, $a_{2}$, $b$, $c$ en $\Reals^{3}$, todos los $t$ reales,} $$ y de manera similar en la segunda y tercera variables.
Skew-simétrica si cambiar un par de argumentos cambia el signo general; es decir, $$ f(a, c, b) = f(c, b, a) = f(a, c, b) = -f(a, b, c),\quad \text{para todos los $a$, $b$, $c$ en $\Reals^{3}$;} $$
Normalizada si $f$ evalúa a unidad en la base estándar: $f(e_{1}, e_{2}, e_{3}) = 1$.
Notas:
El volumen signado es una medida geométrica de "volumen orientado" abarcado por un triple ordenado de vectores en $\Reals^{3}$ (o, más generalmente, por una $n$-tupla ordenada de vectores en $\Reals^{n}$). Nosotros definimos el volumen signado como multilineal, skew-simétrico y normalizado. La normalización dice que el volumen signado del cubo unitario (con vectores abarcadores en orden estándar) es unidad. La skew-simetría dice que intercambiar el orden de dos vectores cambia el signo del volumen, como una reflexión en un espejo. La multilinealidad contiene la mayor parte de la geometría interesante: Si fijamos todos menos uno de los vectores que abarcan un paralelepípedo y examinamos cómo depende el volumen del vector restante, entonces (i) Multiplicar el vector libre por un escalar $t$ multiplica el volumen signado por $t$; (ii) Desplazar el vector libre en direcciones paralelas a los bordes fijos no cambia el volumen signado.
Estas propiedades contienen ciertas redundancias; por ejemplo, la linealidad en la primera variable junto con la skew-simetría implica linealidad en la segunda y tercera variables.
Un triple ordenado $(a, b, c)$ de vectores se puede poner en $3! = 6$ ordenamientos. Si el reordenamiento se efectúa mediante una permutación par, el signo de $f$ es invariante; si el reordenamiento se efectúa mediante una permutación impar, el signo de $f$ cambia. En particular, $f(a, a, b) = -f(a, a, b)$ (al intercambiar los primeros dos argumentos), entonces $f(a, a, b) = 0$ para todos los $a$ y $b$. Generalmente, si dos de $a$, $b$, $c$ son iguales, entonces $f(a, b, c) = 0$.
Una función multilineal como la mencionada se llama un tensor 3 en $\Reals^{3}$. Un tensor $3$ skew-simétrico no nulo en $\Reals^{3}$ es un elemento de volumen. (A menudo, físicos y matemáticos hablan de "campos tensoriales" y "formas de volumen"; estas son funciones cuyo valor en cada punto es, respectivamente, un tensor o un elemento de volumen. Para añadir a la confusión, la mayoría de las personas usan "tensor" para referirse a un "campo tensorial" cuando el contexto lo permite. Es seguro ignorar todo esto si no tiene sentido; solo intentando prevenir críticas terminológicas.)
Teorema: Existe una única función normalizada, skew-simétrica, multilineal en triples ordenados de vectores en $\Reals^{3}$.
Prueba (esbozo): Escribimos $a = a_{1}e_{1} + a_{2}e_{2} + a_{3}e_{3}$ como una combinación lineal en la base estándar y evaluamos, usando multilinealidad para expandir: \begin{align*} f(a, b, c) &= f(a_{1}e_{1} + a_{2}e_{2} + a_{3}e_{3}, b, c) \\ &= a_{1} f(e_{1}, b, c) + a_{2} f(e_{2}, b, c) + a_{3} f(e_{3}, b, c). \end{align*} Continuamos de manera similar sustituyendo $b = b_{1}e_{1} + b_{2}e_{2} + b_{3}e_{3}$ y $c = c_{1}e_{1} + c_{2}e_{2} + c_{3}e_{3}$.
Expandir completamente resulta en $3^{3} = 27$ términos, es decir, los términos $a_{i} b_{j} c_{k}\, f(e_{i}, e_{j}, e_{k})$ con $(i, j, k)$ un triple ordenado arbitrario de índices de $\{1, 2, 3\}$.
Gracias a la skew-simetría, cualquier término con un índice repetido es automáticamente cero. Hay precisamente $3! = 6$ términos con índices no repetidos: $a_{1} b_{2} c_{3}\, f(e_{1}, e_{2}, e_{3})$, y $a_{2} b_{1} c_{3}\, f(e_{2}, e_{1}, e_{3})$, y otros cuatro. Por skew-simetría y normalización, \begin{align*} 1 &= f(e_{1}, e_{2}, e_{3}) = f(e_{2}, e_{3}, e_{1}) = f(e_{3}, e_{1}, e_{2}), \\ -1 &= f(e_{1}, e_{3}, e_{2}) = f(e_{3}, e_{2}, e_{1}) = f(e_{2}, e_{1}, e_{3}). \end{align*} Nuestra expansión de $f(a, b, c)$ empezó con $3^{3} = 27$ términos, de los cuales solo $3! = 6$ no fueron eliminados por skew-simetría. Las evaluaciones previas de $f$ en permutaciones de la base estándar implica que \begin{align*} f(a, b, c) &= a_{1}b_{2}c_{3} - a_{1}b_{3}c_{2} + a_{2}b_{3}c_{1} - a_{2}b_{1}c_{3} + a_{3}b_{1}c_{2} - a_{3}b_{2}c_{1} \\ &= a_{1}(b_{2}c_{3} - b_{3}c_{2}) + a_{2}(b_{3}c_{1} - b_{1}c_{3}) + a_{3}(b_{1}c_{2} - b_{2}c_{1}) \\ &= a \cdot (b \times c). \tag{1} \end{align*}
La fórmula anterior dice que hay a lo sumo una función normalizada, skew-simétrica, multilineal en triples de vectores en $\Reals^{3}$ (porque la fórmula fue derivada asumiendo estas tres propiedades).
Conversamente, esta fórmula puede ser verificada como multilineal (es decir, satisface una ley distributiva generalizada), skew-simétrica (intercambiar dos argumentos cambia el signo general), y normalizada. Esto completa la prueba del teorema.
De hecho, casi hemos terminado:
Corolario: Para todos los $a$, $b$, $c$ en $\Reals^{3}$, $\Vol(a, b, c) = a \cdot (b \times c)$.
Prueba (esbozo): Basta con mostrar que tanto el volumen signado como el producto triple son multilineales, skew-simétricos, y normalizados. Pero como en la nota 1. anterior, el volumen signado es multilineal, skew-simétrico y normalizado, mientras que el trabajo ya está hecho para el producto triple, por (1).
Ejercicio: Trabaja en los detalles del caso $n = 2$. (Aquí hay $2^{2} = 4$ términos en la expansión completa de $f(a, b)$, de los cuales $2! = 2$ "sobreviven" la eliminación por skew-simetría.) Esboza un paralelogramo general en $\Reals^{2}$, y convéncete geométricamente de que el área signada es multilineal (compara con la nota 1. anterior).
Mientras que la formulación del vector 3D es muy útil para cálculos del mundo real en el espacio euclidiano 3D, también vale la pena notar que:
en 1 dimensión $$ V_1(a) =a_1 =|a| $$
en 2 dimensiones $$ V_2(a,b) = a_1 b_2 - a_2b_1 = |ab| $$ en 3 dimensiones $$ V_3(a,b,c) = a_1(b_2c_3-b_3c_2) +a_2(b_3c_1-b_1c_3) + a_3(b_1c_2-b_2c_1)=|a b c| $$ esto muestra en general cómo se define un elemento de volumen de mayor dimensión en términos de elementos en una dimensión menos, y el formalismo puede extenderse fácilmente a 4 y más dimensiones. en este caso tridimensional es fácil ver que $V_3(a,b,c) = a\times b \cdot c = b \times c \cdot a = c \times a \cdot b$
de hecho, podemos escribir, usando el epsilon de Levi-Civita: $$ V = \sum_{i,j,k} \epsilon_{ijk} \frac{\partial^3 V}{\partial a_i \partial b_j \partial c_k} $$
interpretando el volumen como el determinante de una transformación lineal que mapea elementos de una base ortonormal $e_i$ a los vectores de borde de un paralelepípedo incorpora naturalmente la dependencia multilineal del volumen en los vectores de borde, así como el hecho de que el volumen escalar tiene un signo que depende de la orientación. también se relaciona directamente con el uso del Jacobiano como el factor de escala que debe incorporarse al aplicar una transformación diferenciable de coordenadas para evaluar una integral.
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