Una álgebra conmutativa de dimensión finita es un producto finito de álgebras locales conmutativas

Question

Un álgebra conmutativa de dimensión finita es un producto finito de álgebras locales conmutativas. ¿Por qué? De hecho, todo anillo conmutativo semiperfecto es un anillo básico y isomórfico a un producto finito de anillos locales, aunque no sé cómo probarlo.

Answer 1

Una prueba ligeramente diferente a la de rschwieb. Sea $R$ un álgebra de Artin conmutativa de dimensión finita.

1. $R$ tiene solo un número finito de ideales maximales. Sea $n$ la dimensión de $R$. Si $m_1, \dots, m_r$ son ideales maximales distintos de $R$, entonces por el Teorema Chino del Resto, la aplicación canónica $$ R\to R/m_1\oplus \cdots \oplus R/m_r$$ es sobreyectiva. Esto implica que $r\le n$. Así que $R$ tiene solo un número finito de ideales maximales. Sea $m_1, \dots, m_q$ sean los ideales maximales de $R$.

2. Para algún $N\ge 1$, $(m_1m_2\dots m_q)^N=0$. La sucesión decreciente de ideales $(m_1m_2\dots m_q)^N$ es estacionaria. Para algún $N\ge 1$, tenemos $$ (m_1m_2\dots m_q)^N=(m_1m_2\dots m_q).(m_1m_2\dots m_q)^N.$$ Por el lema de Nakayama, esto implica que $(m_1m_2\dots m_q)^N=0.

3. Fin de la prueba. Sea $N$ como arriba. Nuevamente por CRT, tenemos $$ R\simeq \oplus_{1\le i\le q} R/m_i^N.$$ Ahora $R/m_i^N$ es local porque su único ideal maximal es la imagen de $m_i$ en $R/m_i^N.

Observación. La misma prueba funciona de manera similar si $R$ no es un álgebra sobre un campo, sino que tiene una longitud finita.

Answer 2

Porque es Artiniana, y los anillos Artinianos conmutativos factorizan de esta manera. Aquí tienes un boceto.

Para cada idempotente $e$ en un anillo conmutativo Artiniano $R$, el ideal $eR$ es en realidad un subanillo con identidad $e$, y también un álgebra, si $R$ lo es. En consecuencia, $(1-e)R$ también es un subanillo, ya que $1-e$ también es idempotente, y $eR\oplus (1-e)R=R$.

Ahora imagina descomponer estos idempotentes en otros más pequeños: $e=f+g$ con $fg=0$. Bajo estas condiciones, $eR=fR\oplus gR$, y el ideal original se descompone en dos ideales más pequeños.

Usando la hipótesis de Artin, puedes demostrar que este proceso de descomposición no puede continuar indefinidamente, y debes llegar a idempotentes tales que $eR$ no se pueda descomponer más. Esto resulta ser equivalente a que $eR$ tenga solo los idempotentes triviales $0$ y $e$. Ahora un anillo conmutativo Artiniano con solo idempotentes triviales es local.

Entonces, ¿cuál es el resultado final? $R$ se descompone en un producto finito de $e_iR$, todos los cuales son finitos y locales (álgebras).

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(Pensé que tenía una prueba elemental a mano pero no me viene a la mente, así que aquí tienes una versión improvisada.)
Lema Un anillo conmutativo Artiniano con solo idempotentes triviales es local.

Boceto de prueba: Esto es trivialmente cierto cuando $R$ es semisimple (también conocido como Artiniano semisimple) porque los anillos semisimples conmutativos son productos de campos, y "no hay idempotentes no triviales" significa que consiste en precisamente un campo.

$R$ es local si y solo si $R/\mathrm{Nil}(R)$ es local. $R/\mathrm{Nil}(R)$ es semisimple. Cualquier idempotente de $R/\mathrm{Nil}(R)$ se eleva a uno en $R$.