Mostrar que cada secuencia en $\mathbb{R}$ tiene un subsequence monotono

Question

Así que me gustaría algunas pistas en cuanto a cómo proceder en este problema ya que estoy atascado con un caso particular. He dividido esta prueba en 2 casos, en los que la sucesión es convergente y la sucesión es divergente.Estoy bastante confianza que me han demostrado que esto para el caso en que la sucesión es convergente, y actualmente estoy perplejo en el caso de las secuencias divergentes.

Mi intuición me dice que debido a que la secuencia es divergente, que puedo coger algo de $p\in \mathbb{R}$ y considerar la larga de puntos que se mueven más y más lejos de la $p$, y que me dará mi monótona y larga. Pero en la negación de la definición de convergencia yo soy sólo se garantiza que existe una $\epsilon>0$ tal que para cualquier $N\in \mathbb{N}$, existe un $n>N$ tal que $|x_n-p|\geq \epsilon$, por lo que estos puntos pueden fluctuar entre ser exactamente dentro de $\epsilon$ $p$ o más de $\epsilon$, y no tengo suficiente información sobre el comportamiento de la secuencia para asegurarme de una monótona y larga.

Entonces, ¿cómo puedo continuar a partir de aquí (suponiendo que estoy en la pista de la derecha)? O es que hay una ruta mejor que puedo tomar que no se trata de una prueba dividida en casos?

Gracias.

Answer 1

No necesita dividir esto en secuencias convergentes/divergentes. Tal vez ya a hacer esta sugerencia:

La secuencia $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ llamamos $k\in\mathbb N$ un punto de la secuencia, si $a_k\geq a_n$ % todos $n\geq k$. Ahora piense ¿qué sucede si hay infinte muchas espigas? ¿Qué pasa si hay solamente finitos muchos puntos?

Answer 2

si cualquier valor infinito apoyo que estamos hecho. de lo contrario, no es un infinito larga de positivo (o negativo) de los términos de $r_j (-r_j)$.

si la secuencia es ilimitado, hemos terminado.

de lo contrario, por la de Heine-Borel teorema existe una acumulación punto de $a$. eliminar cualquiera de los términos iguales a $a$ y después de esta reducción deje $r^+$ $r^-$ denotar las subsecuencias de términos $\gt a$ $\lt a$ respectivamente. al menos uno debe ser infinito. supongo que esto es $r^+$

set $k_1=1$ desde $r^+_{k_1} \gt a$ podemos encontrar $r^+_{k_2} \in (a,r^+_{k_1})$

el subsequence $r^+_{k_n}$ es monótona decreciente

Answer 3

Se pueden considerar tres casos?

En primer lugar, cuando no está delimitado desde arriba. A continuación, considere la larga se define de la siguiente manera: $n_1=1$ $n_k$ es el menor número tal que $$a_{n_k} > a_{n_1}, \ldots ,a_{n_{k-1}}$$

En segundo lugar, cuando no está delimitado desde abajo, de manera similar, $n_k$ es el menor número tal que $$a_{n_k} < a_{n_1}, \ldots ,a_{n_{k-1}}$$

En tercer lugar, cuando es acotado por arriba y por debajo, por lo que tiene un convergentes larga con límite de $a$. Vamos a considerar sólo la subcase cuando infinitamente muchos de los términos de esa larga son $>a$. Ahora conseguir un subsequence de que cada vez menos converge a $a$ igual que en el caso anterior.

${\bf Added:}$ Es duro para mejorar en la hermosa solución de @Hirshy: Pero ya en los comentarios de la infinita teorema de Ramsey dibujemos una prueba con:

Vamos $I$, $J$ totalmente de conjuntos ordenados, con $I$ infinito y $\phi\colon I \to J$ cualquier mapa. Entonces existe $I_0 \subset I$ infinita por lo que el $\phi_{\mid I_0}$ es constante, o estrictamente creciente o estrictamente decreciente. De hecho, el color de los subconjuntos con $2$ elementos $\{i,j\}$ de $I$, $i< j$, con R si $\phi(i) < \phi(j)$, B si $\phi(i)= \phi(j)$, y G si $\phi(i) > \phi(j)$. Por Ramsey, existe $I_0 \subset I$, de modo que todos los subconjuntos de a $I$ tienen el mismo color.

Ya que estamos hablando del teorema de Ramsey, también tenemos un número finito de versión de la misma, que podría ser aplicado para el caso finito del problema. Sin embargo, tenemos un resultado directo de Erdos et al afirmar que: a partir de una secuencia finita de (distinta) real $mn+1$ números uno puede extraer un aumento de larga de duración $m+1$ o una disminución de larga de duración $n+1$.

Answer 4

Deje $u=(u_n)$ ser una secuencia de números reales. Deje $[u]\in{}^{\ast}\mathbb{R}$ ser el hyperreal número que se obtiene como la clase de equivalencia de la secuencia de $u$ en el ultrapower de la construcción. Podemos aprovechar el fin de ${}^{\ast}\mathbb{R}$ para la construcción de una monótona y larga de la siguiente manera.

Si $[u]$ es infinito, construimos una larga $u_{n_k}$ de forma recursiva por la elección de $u_{n_{k+1}}$ siempre más cerca de $[u]$ que en el periodo anterior. La larga va a ser creciente o decreciente dependiendo del signo de $[u]$.

Si $[u]$ es un estándar número real, entonces el subconjunto de índices de $n$ que $[u]=u_n$ es infinita, y la enumeración de este subconjunto de $\mathbb{N}$ se obtiene la deseada larga.

Si $[u]$ es finito pero no estándar, se redondee a su más cercano real $r$. A continuación, podemos elegir de forma recursiva $u_{n_{k+1}}$ más cerca de la $r$ que en el periodo anterior $u_{n_{k}}$. La larga va a ser creciente o decreciente dependiendo del signo de la infinitesimal $[u]-r$.