¿Soportes de Poisson de las limitaciones de segunda clase son independientes de las coordenadas canónicas?

Question

Digamos que tenemos una restricción del sistema con el segundo restricciones de clase de $\chi_N(q,p)=0$. Para definir Dirac soportes necesitamos los corchetes de Poisson de estas limitaciones: $C_{NM}=\{\chi_N(q,p),\chi_M(q,p)\}_P$ . Es la matriz de $C_{NM}$ independiente de $q,p$?

La motivación de la pregunta es que cuando traté de verificar Dirac soportes de satisfacer identidad de Jacobi, parece que tienen que asumir la $C_{NM}$ no depende de la canónica de coordenadas(Para ser honesto, no estoy 100% seguro de si esta suposición es necesario, porque yo no trato muy duro en la verificación sin esta suposición porque un lado de la identidad de Jacobi será tremendamente complicado). Además, para algunos ejemplos sencillos(por ejemplo, un enorme campo de vectores), no resultan ser el caso.

EDIT: creo que yo sé de dónde he cometido errores, en algún lugar en el cálculo necesitaba algunos de los términos a ser 0, yo estaba buscando en mi cerebro sólo a todos los fuertes de igualdades, mientras que, de hecho, algunos débiles igualdades podría ayudar.

Answer 1

La restricción de la matriz $C_{NM} = \{\chi_{N}, \chi_{M}\}_{P} \ $ está definida en el conjunto del espacio de fase y es invertible en todas partes, pero no hay ninguna razón para que sea constante.

Tal vez la forma más fácil de ver que el corchete de Dirac obedece a la identidad de Jacobi es señalar que la identidad de Jacobi para el caso de los corchetes de Poisson tiene porque la forma simpléctica es cerrado. Si $M$ es el espacio de fase y nos fijamos en el submanifold $M_s \subset M$ seleccionado por la imposición de la segunda clase de restricciones, entonces la forma de definir el corchete de Dirac es el retroceso de la simpléctica formulario a través de la incrustación $M_s \hookrightarrow M$ y por lo tanto se cierra demasiado.

Answer 2

Dado un $2n$-dimensiones simpléctica colector $(M,\omega)$, con la correspondiente Corchete de Poisson $$\{\cdot,\cdot\}_{PB}~:~ C^{\infty}(M)\times C^{\infty}(M) \to C^{\infty}(M),$$

física y submanifold

$$\Sigma~:=~\{ z\in M ~|~ \chi^{1}(z)~=~0, \ldots,\chi^{2m}(z)~=~0 \}~\subseteq~ M$$

se define por un conjunto de $2m$ (para simplificar, definidos a nivel global) de segunda clase restricciones $\chi^1$, $\ldots$, $\chi^{2m}$. Aquí $m\leq n$. La segunda clase de condición es equivalente a que la matriz de

$$\Delta^{ab}~:=~\{ \chi^{a} ,\chi^{b}\}_{PB} $$

restringido (y por lo tanto en algunas abrir barrio de) la física subespacio $\Sigma$ es una matriz invertible. Para responder a OP de la pregunta de la matriz $\Delta^{ab}$ depende, en general, en el punto de $z\in M$ y, en particular, no se necesita ser constante. (Deje que nosotros aquí, por simplicidad, suponga que $\Delta^{ab}$ es una matriz invertible a nivel global en el conjunto de la $M$.)

El corchete de Dirac

$$\{\cdot,\cdot\}_{DB}~:~ C^{\infty}(M)\times C^{\infty}(M) \to C^{\infty}(M),$$

se define como

$$ \{f,g\}_{DB} ~:=~ \{f, g\}_{PB}-\{f, \chi^{a}\}_{PB} (\Delta^{-1})_{ab}\{ \chi^{b},g\}_{PB}. $$

El corchete de Dirac no es invertible de Poisson de la estructura de la fila $2(n-m)$ sobre el total de espacio de $M$.

Sobre la identidad de Jacobi para el corchete de Dirac

$$ \{\{f,g\}_{DB},h\}_{DB} +\text{cycl.}(f,g,h) ~=~0, $$

es más bien un hecho notable de que la identidad de Jacobi sostiene firmemente en la totalidad del espacio de $M$ sin imponer la segunda clase de restricciones. Para todos los físicos a los efectos de, no habría sido suficiente si la identidad de Jacobi sólo se sostiene débilmente modulo de segunda clase de limitaciones, pero notablemente la Dirac construcción proporciona una fuerte identidad de Jacobi en la totalidad del espacio de $M$.

Además, OP podría resultar interesante que Dirac escribió en la Ref. 1

[...]No sé de cualquier manera clara y ordenada de la prueba de la identidad de Jacobi para el [Dirac soporte]. Si uno sólo sustitutos de acuerdo a la definición y trabaja en una forma complicada, uno no se entera de que todos los términos se cancelan y el lado izquierdo es igual a cero. [...]

Referencias:

1. P. A. M. Dirac, Conferencias sobre la Mecánica Cuántica, (1964) p.42.