¿Lo que, fundamentalmente, es la razón de la forma de una curva de pecado?

Question

Digamos que tenemos una barra de metal en el espacio alineados horizontalmente y empezamos a girar en sentido antihorario alrededor de su extremo izquierdo. Entonces, el pecado del ángulo entre la horizontal y la barra es la coordenada del extremo dividido por la longitud de la barra. Por tanto, entiendo que sin/cos están relacionados con las proyecciones de las cosas cuando gira. Es esta la idea fundamental? ¿Por qué el pecado curvas de buscar la forma en que lo hacen? ¿Por qué es la vertiente más negativa cuando el pecado(x) = 0? Estoy buscando una respuesta intuitiva, no sólo que la derivada del pecado es la cos.

Answer 1

Sí, esa es la idea. El extremo de la barra está moviendo a una velocidad constante, así que el componente de $y$ de su velocidad (que es la tasa de cambio de $\sin(\theta)$) es mayor en magnitud cuando toda esa velocidad está en la dirección de $y$, y eso sucede cuando $\sin(\theta) = 0$.

Answer 2

Gráficamente se puede ver que en $\theta = 0$ la derivada de la $\sin$ ($y$- valor) es el cambio de la mayoría frente a cualquier otro lugar (distinto del otro lado del círculo en $\theta = \pi$):

La suya es otra foto que muestra que la forma de la sinusoide es que debido a la definición de seno en el primer cuadrante (perdonar la naturaleza aproximada de este boceto, pero es básicamente correcto):

Answer 3

Creo que las otras respuestas totalmente responder a la pregunta, pero esto puede ser de ayuda. Mi favorito de la vida real, la visualización de un pecado de la curva viene de un teléfono de cable:

Cuando se extendió sobre una superficie plana, y visto desde arriba, la forma del cable se aproxima a un pecado de la curva. Las ecuaciones para el centro del cable será algo como:

$$y=R\sin(Ax)$$ $$z=R\cos(Ax)$$

donde R es el radio del cable en espiral, y depende de cuánto el cable se estira.