Si $n\neq m$ $\mathbb{R}^n$ no es homeomórficos a $\mathbb{R}^m$

Question

Quiero demostrar que si $n\neq m$ $\mathbb{R}^n$ no es homeomórficos a $\mathbb{R}^m$.

Este aparentemente sencillo de la topología de la pregunta, surgió en una topología algebraica hoja de cálculo en la que el resto de las preguntas se centran en torno a la de Mayer-Vietoris secuencia y grados de mapas. Tengo que admitir que tengo poca idea acerca de cómo proceder, excepto tal vez para el uso de homotopy tipos (y ni siquiera estoy seguro de cómo empezar por ahí). Una sugerencia o dos sería muy útil...

Answer 1

Sugerencia: Si $\varphi: \mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n$ es un homeomorphism, a continuación, $\mathbb{R}^m\setminus x$ es homeomórficos a $\mathbb{R}^n\setminus \varphi(x)$. Calcular la homología.

Answer 2

Sugerencia: Pruebe a quitar un punto y el cálculo de la homología.

Answer 3

Otra posibilidad es comparar el punto de compactifications de $\mathbb{R}^n$$\mathbb{R}^m$, es decir. $\mathbb{S}^n$ $\mathbb{S}^m$ respectivamente, por ejemplo mediante el cálculo de la homología.