Calcular el límite trigonométrico del tipo $\frac{0}{0}$ sin L'Hopital

Question

Estoy tratando de encontrar la solución a este Límite sin usar L'Hopital.

$$ \lim \limits_{x \to \pi} \frac {(\tan (4x))^2 } {(x - \pi )^2} $$

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Se podría evaluar la Expansión de la serie de Taylor del numerador alrededor de $x = \pi$ y luego la división muestra que

$$\frac{\tan(4x)^2}{(x - \pi)^2} = 16 + O((x - \pi)^2)$$

Informalmente, la segunda pieza tenderá a cero como $x$ tiende a $\pi$ . Entonces se podría hacer un argumento de convergencia formal para justificar que el límite es, de hecho, 16.

Editar: Otra forma de hacerlo sin utilizar una serie para utilizar sólo las relaciones trigonométricas de la siguiente manera:

$$\tan(4x)^2 = \frac{\sin(4x)^2}{\cos(4x)^2} = \frac{\sin(4x - 4\pi)^2}{\cos(4x - 4\pi)^2}$$

donde hemos utilizado que $\sin$ es $2\pi$ -periódico. Así, podemos reescribir el límite original como

$$\lim_{x\to\pi} \frac{\tan(4x)^2}{(x - \pi)^2} = \frac{1}{\cos(4x - 4\pi)^2}(\frac{\sin(4x - 4\pi)}{(x - \pi)})^2$$

Claramente, el término que implica el coseno tiende a 1. Por otro lado, dejemos que $u = (x - \pi)/4$ entonces podemos reescribir el límite como

$$\lim_{u \to 0} (\frac{\sin(u)}{u/4})^2 = 16 \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 16$$

recordando que $\sin(u)/u$ tiende a 1 cuando $u$ tiende a $0$ .

Answer 2

No es necesario, pero dejaría $x-\pi=t$ . Tenga en cuenta que $\tan(4x)=\tan(4t+4\pi)=\tan(4t)$ . Queremos el límite de $$\frac{\tan(4t)}{t}\cdot \frac{\tan(4t)}{t}$$ como $t\to 0$ .

Tenga en cuenta que $$\frac{\tan(4t)}{t}=\frac{4}{\cos(4t)}\frac{\sin(4t)}{4t}.$$

¿Ahora puedes terminar?

Answer 3

He aquí un comienzo

$$\lim_{x\to \pi} \frac{\tan(4x)^2}{(x-\pi)^2}=\lim_{y\to 0} \frac{\sin^2(4(y+\pi))}{y^2}\frac{1}{\cos^2(y+\pi)}=\lim_{y\to 0} \frac{\sin^2{4y}}{y^2}=\dots. $$

Tenga en cuenta que,

$$ \sin(4(y+\pi)) = \sin(4y). $$