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Descripción de Tor a través de la derivada de la categoría?

Si A,B son objetos de una abelian categoría \mathcal{A}n \in \mathbb{N}, hay una muy buena y útil la descripción de \mathrm{Ext}^n(A,B). Es decir, es sólo el conjunto de morfismos A \to B[n] en los derivados de la categoría D(\mathcal{A}). Por ejemplo, esto le da la más elegante de las formulaciones de la Yoneda producto \mathrm{Ext}^n(A,B) \otimes \mathrm{Ext}^m(B,C) \to \mathrm{Ext}^{n+m}(A,C) y Serre la dualidad en un suave proyectiva esquema de X.

Ahora vamos a \mathcal{A} ser un abelian \otimes-categoría con suficiente projectives plana / de los objetos. Hay una descripción similar de \mathrm{Tor}_n(A,B) el uso de la derivada de la categoría? Más precisamente, podemos manipular A,B dentro de D(\mathcal{A}) (con turnos de Homs, tensor de productos, etc.) para obtener el grupo abelian \mathrm{Tor}_n(A,B) sin hablar de las resoluciones?

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Armand Puntos 141

Así que tenga en cuenta que si \mathscr{A} es un abelian tensor de la categoría, a continuación, \mathrm{Tor}_n(-, -) es un objeto de \mathscr{A}, no un grupo abelian. Los functors que he enumerado (derivada del tensor, turnos, homs), ya sea de la tierra en la que se derivan categoría D(\mathscr{A}) o en la categoría de abelian grupos, por lo que en la generalidad has indicado no puede ser una forma de recuperar el \mathrm{Tor}_n(-,-) con las operaciones que he mencionado.

Esto significa que tenemos dos opciones. La primera opción es que vamos a ampliar nuestro repertorio de functors permitimos. En particular, los functors que necesitamos son los cohomology functors H^n : D(\mathscr{A}) \to \mathscr{A}, desde entonces, es evidente que se puede recuperar \mathrm{Tor}_n(-,-) como el compuesto de H^{-n}(- \otimes^{L} -). Pero eso es tautológica y no satisfactorio.

La segunda opción es que los ponemos algunas hipótesis adicionales en nuestra categoría de modo que uno de los functors ya lo hemos permitido nosotros mismos en realidad toma valores en \mathscr{A}. Derivada del tensor y los cambios de la tierra en la que se derivan la categoría de nuevo, así que no ayuda y la única esperanza es que si hom toma valores en \mathscr{A}. En otras palabras, tendríamos \mathscr{A} a ser enriquecido más de sí mismo o de algo. No estoy muy seguro de lo que eso significa ya que puede ser que necesite el grupo abelian de enriquecimiento para coincidir con el enriquecimiento \mathscr{A}, lo que no tiene sentido a menos que los objetos de \mathscr{A} ya son abelian grupos, por lo que para evitar decir incorrecta cosas yo sólo voy a seguir adelante y asumir que \mathscr{A} es de la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo R. Ahora hom toman valores en \mathscr{A}, así que tenemos algo de esperanza.

Así que ahora sería suficiente para construir el cohomology functors H^n a partir de lo que ya tenemos. Una manera de tener que sería para H^n a ser representable en D(R). Pero lo es! No es tan difícil ver a partir de las definiciones que \mathrm{Hom}_{K(R)}(R[-n], A) = H^n(A) naturalmente, para todos los complejos de A donde R[-n] es el complejo que se encuentra a sólo R grado n K(R) es el homotopy categoría de complejos de R-módulos. Por otra parte, claramente,\mathrm{Hom}_{K(R)}(R[-n],-) = \mathrm{Hom}_{D(R)}(R[-n], -), así que podemos ver que R[-n] representa (o, tal vez, para ser más terminologically correcta, corepresents) el functor H^n sobre la derivada de la categoría D(R) R- módulos.

Por lo tanto, poner todo junto, obtenemos

\mathrm{Tor}_n(-, -) = \mathrm{Hom}_{D(R)}(R[n], - \otimes^L -).

Que todavía no es tan satisfactorio como la descripción de \mathrm{Ext}, por lo que no estoy seguro de si ese es el tipo de cosa que usted estaba buscando.

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