Descripción de Tor a través de la derivada de la categoría?

Question

Si $A,B$ son objetos de una abelian categoría $\mathcal{A}$$n \in \mathbb{N}$, hay una muy buena y útil la descripción de $\mathrm{Ext}^n(A,B)$. Es decir, es sólo el conjunto de morfismos $A \to B[n]$ en los derivados de la categoría $D(\mathcal{A})$. Por ejemplo, esto le da la más elegante de las formulaciones de la Yoneda producto $\mathrm{Ext}^n(A,B) \otimes \mathrm{Ext}^m(B,C) \to \mathrm{Ext}^{n+m}(A,C)$ y Serre la dualidad en un suave proyectiva esquema de $X$.

Ahora vamos a $\mathcal{A}$ ser un abelian $\otimes$-categoría con suficiente projectives plana / de los objetos. Hay una descripción similar de $\mathrm{Tor}_n(A,B)$ el uso de la derivada de la categoría? Más precisamente, podemos manipular $A,B$ dentro de $D(\mathcal{A})$ (con turnos de Homs, tensor de productos, etc.) para obtener el grupo abelian $\mathrm{Tor}_n(A,B)$ sin hablar de las resoluciones?

Answer 1

Así que tenga en cuenta que si $\mathscr{A}$ es un abelian tensor de la categoría, a continuación, $\mathrm{Tor}_n(-, -)$ es un objeto de $\mathscr{A}$, no un grupo abelian. Los functors que he enumerado (derivada del tensor, turnos, homs), ya sea de la tierra en la que se derivan categoría $D(\mathscr{A})$ o en la categoría de abelian grupos, por lo que en la generalidad has indicado no puede ser una forma de recuperar el $\mathrm{Tor}_n(-,-)$ con las operaciones que he mencionado.

Esto significa que tenemos dos opciones. La primera opción es que vamos a ampliar nuestro repertorio de functors permitimos. En particular, los functors que necesitamos son los cohomology functors $H^n : D(\mathscr{A}) \to \mathscr{A}$, desde entonces, es evidente que se puede recuperar $\mathrm{Tor}_n(-,-)$ como el compuesto de $H^{-n}(- \otimes^{L} -)$. Pero eso es tautológica y no satisfactorio.

La segunda opción es que los ponemos algunas hipótesis adicionales en nuestra categoría de modo que uno de los functors ya lo hemos permitido nosotros mismos en realidad toma valores en $\mathscr{A}$. Derivada del tensor y los cambios de la tierra en la que se derivan la categoría de nuevo, así que no ayuda y la única esperanza es que si hom toma valores en $\mathscr{A}$. En otras palabras, tendríamos $\mathscr{A}$ a ser enriquecido más de sí mismo o de algo. No estoy muy seguro de lo que eso significa ya que puede ser que necesite el grupo abelian de enriquecimiento para coincidir con el enriquecimiento $\mathscr{A}$, lo que no tiene sentido a menos que los objetos de $\mathscr{A}$ ya son abelian grupos, por lo que para evitar decir incorrecta cosas yo sólo voy a seguir adelante y asumir que $\mathscr{A}$ es de la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo $R$. Ahora hom toman valores en $\mathscr{A}$, así que tenemos algo de esperanza.

Así que ahora sería suficiente para construir el cohomology functors $H^n$ a partir de lo que ya tenemos. Una manera de tener que sería para $H^n$ a ser representable en $D(R)$. Pero lo es! No es tan difícil ver a partir de las definiciones que $\mathrm{Hom}_{K(R)}(R[-n], A) = H^n(A)$ naturalmente, para todos los complejos de $A$ donde $R[-n]$ es el complejo que se encuentra a sólo $R$ grado $n$ $K(R)$ es el homotopy categoría de complejos de $R$-módulos. Por otra parte, claramente,$\mathrm{Hom}_{K(R)}(R[-n],-) = \mathrm{Hom}_{D(R)}(R[-n], -)$, así que podemos ver que $R[-n]$ representa (o, tal vez, para ser más terminologically correcta, corepresents) el functor $H^n$ sobre la derivada de la categoría $D(R)$ $R$- módulos.

Por lo tanto, poner todo junto, obtenemos

$\mathrm{Tor}_n(-, -) = \mathrm{Hom}_{D(R)}(R[n], - \otimes^L -)$.

Que todavía no es tan satisfactorio como la descripción de $\mathrm{Ext}$, por lo que no estoy seguro de si ese es el tipo de cosa que usted estaba buscando.