Para la pregunta de por qué $(1-2)^{-1}=-1$, pero el de la serie de $\sum_{n=1}^\infty x^n$ divergen, es posible que desee ver en la página sobre "lacontinuación analítica". La idea es la siguiente, hay muchos tipos diferentes de potencia de la serie que converge a $1/(1-x)$. Por ejemplo:
$$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n$$
que convergen en un disco centrado en $x=0$ radio $1$.
$$\frac{1}{1-x}=\frac{i}{1-i(x-(1+i))}= i\sum_{n=0}^\infty i^n(x-(1+i))^n$$
que convergen en un disco centrado en $x=1+i$ radio $1$.
$$\frac{1}{1-x}=-\frac{1}{1+(x-2)}=-\sum_{n=0}^\infty (2-x)^n$$
que convergen en un disco centrado en $x=2$ radio $1$.
Tomamos nota de los tres discos de superposición (dibujar estos tres discos en un pedazo de papel).
Ahora digamos que usted comience con el poder 3 de la serie en la mano derecha y pretender que no sabemos nada sobre el lado izquierdo, por lo que sólo sabemos de 3 de potencia de la serie, y cada uno de ellos da una función en el disco en el que convergen, pero nada fuera de sus propios discos. Por supuesto, ya que dan lugar a las mismas funciones en la superposición, podemos "parche" para obtener una función en la unión de los tres discos. Si quiero encontrar el valor de esta función en $x=2$, acabo de enchufar en la tercera potencia de la serie, y obtener el valor de $-1$. En un sentido, analizando el poder de la serie de $\sum_{n=0}^\infty x^n$, comenzamos con una función que sólo está definido dentro de $\lvert x\rvert<1$, pero podemos "analíticamente continuar" para extender su dominio hasta que se cubre $x=2$ escribiendo otra potencia de la serie y que requieren de ellos coinciden en que la superposición de los discos de convergencia.
Ahora la pregunta natural que surge, podría haber más de una forma para hacer esto? De hecho, si hay, que nos dará diversas funciones en la unión de los discos, y probablemente un valor diferente en $x=2$. En otras palabras, podemos escribir otra potencia de la serie (dicen que convergen en el interior del disco $\lvert x-(1+i)\rvert<1$) que define la misma función como $\sum_{n=0}^\infty x^n$ sobre la superposición de los discos, pero difiere de la segunda potencia de la serie por encima en el resto del disco $\lvert x-(1+i)\rvert<1$ a partir de la superposición? La teoría de la continuación analítica dice que no. Así, en un sentido, el poder de la serie de $\sum_{n=0}^\infty x^n$ no sólo determina una analítica de la función en el disco $\lvert x\rvert<1$, pero también más allá de ella. Ahora usted puede aplicar la teoría de nuevo, que le dice que la última potencia de la serie está determinada únicamente por la segunda, que a su vez está determinada únicamente por la primera. Por lo que el valor que se obtiene por el valor en $x=2$ es realmente único por el proceso. Esto no significa que la primera potencia de la serie converge a $-1$$x=2$, pero significa que la función que está determinada por la energía de la serie,(que en secreto, es $1/(1-x)$, pero en general no tienen una forma cerrada por otros de la serie) tiene valor $-1$$x=2$.
Último, hay un problema de que nuestra elección de los discos parece ser arbitraria. Por ejemplo, podemos sacar muchas superposición de los discos que los bucles alrededor de $x=1$ luego regreso a $x=2$. En este ejemplo, no causa problemas, pero muchas veces lo hacen. Me referiré a la Mathworld página web por ejemplo de nuevo.
