Grande Oh notación Pregunta en el cálculo

Question

En mi libro de texto, declaran los siguientes:

$$\begin{align*}f(x) &= (\frac{1}{x} + \frac{1}{2}) (x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+O(x^4))-1& ,x \rightarrow 0\\&= 1-\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x^3+O(x^3)-1& ,x \rightarrow 0 \end{align*}$$

Sin embargo, cuando me calcular esto, llego $1-\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x^3+O(x^3)+\frac{O(x^4)}{2}-1$. Que $O(x^4)$ parte desaparece supongo que, debido a la gran O la notación. Sin embargo, no puedo entender por qué.

Además, un par de páginas más adelante, dicen que $\lim_{x\rightarrow 0} O(x) = 0$. Lo que realmente no entiendo, ya que $O(x)$ define un conjunto de funciones, no?

Answer 1

Para tu primera pregunta, $O(x^3)$ $O(x^4)$ son términos de error como $x$ se aproxima a cero. Desde $x^4$ va a cero más rápido que $x^3$ $x$ va a cero, el error mayor, $O(x^3)$ asumirá el menor $O(x^4)$.

Para tu segunda pregunta, usted está en lo correcto en la interpretación de las $O(x)$ como un conjunto de funciones. En este contexto, $O(x)$ es el conjunto de todas las funciones $f(x)$ que $\mid f(x)\mid \le c\mid x\mid$, finalmente, para algunos $c>0$ (que dependerá de $f$). El límite de $\lim_{x\rightarrow 0} O(x)$ es entonces interpretarse como el límite de todas las funciones $f(x)$$x\rightarrow 0$, si es que existe. En este caso, ya que cada $f\in O(x)$ satisface $\mid f(x)\mid \le c\mid x\mid$, y así ha de limitar el valor de $0$$x\rightarrow 0$.

Answer 2

El $O(x)$ que hace es definir un conjunto de la función, y por lo $\lim_{x \to 0}O(x)=0$ significa que $\lim_{x\to 0}f(x)=0$ cualquier $f \in O(x)$. Se puede mostrar fácilmente que el uso de una única función a partir de ese conjunto. $id(x)=x$ es, obviamente, en $O(x)$ y satisface $\lim_{x \to 0}id(x)=0$. Ahora, vamos a no ser$g$$O(x)$. De modo que existe un número real positivo $M$ y un número real $\epsilon >0$ tal que $0<|g(x)|< Mx$ todos los $x$ s.t. $0-\epsilon< x< 0+\epsilon$ (Ya he asumido que el $O(x)$ es "Big O alrededor de $0$".) Ahora $g$ converge a $0$ por el sándwich theorm.