Cómo probar esto de la desigualdad de la determinante de Hermitian bloque de la matriz?

Question

Me da un Hermitian positiva definida la matriz de $$D=\left(\begin{matrix}A&\overline{C}^T\\C&B\end{matrix}\right)$$ $A$ $B$ son matrices cuadradas. La tarea es demostrar las siguientes desigualdades:

$\det(D)\leq\det(A)\det(B)\\\det(D)\leq\prod_{i=1}^{n}(d_{ii})$

Todo lo que puedo ver es que $A,B$ son también Hermitian, y que el determinante es igual al producto de los autovalores para $D, A, B$ desde que se Hermitian, y esos son positivas, ya que la matriz es positiva definida, y no tengo más idea. Tal vez usted podría dar un consejo o una especie de sugerencia.

Gracias de antemano!

Answer 1

Sugerencias:

(1) Si $D$ es positivo semidefinite, por lo que se $A$$B$.

(2) Si su primera desigualdad se mantiene, el segundo le sigue por inducción. (La segunda desigualdad se conoce como Hadamard la desigualdad y puede ser demostrado más fácil que el primero.)

(3) Utilizando el complemento de Schur, $\det(D)=\det(A) \det(B - C^*A^{-1}C)$ y $B-C^*A^{-1}C$ es positivo semidefinite.

(4) Si $B=B_1+C_1$ donde $B_1$ $C_1$ son positivas semidefinite, entonces $\det(B) \ge \det(B_1)$.