¿Cuál es el término de la relación matemática entre la $\mathbb{Z}_n$$\mathbb{Z}$?

Question

...y si es importante, hacer que esas ideas tienen cualquier generalización a más "exóticas" número de sistemas?

La motivación para mi pregunta viene de la lectura de algunos de los excelentes respuestas publicadas para otras cuestiones, como uno reciente preguntando si $\sqrt{1 + 24n}$ siempre los rendimientos de los números primos. En particular, he sido golpeado por un comentarista Bill Dubuque del uso repetido de lo que él llama "modular de reducción", echando un problema en $\mathbb{Z}_n$ a que sea mucho más fácil de resolver en el caso general, para $\mathbb{Z}$.

Lo que no acabo de asimilar es la razón por la que esto funciona; ¿por qué hacemos esto? Hay una razón profunda? A primera vista, para mí, parece que no hay nada inherente en los axiomas de un determinado $\mathbb{Z}_k$ que necesariamente se enlaza íntimamente con $\mathbb{Z}$; todo lo que importa es que se ha $k$ elementos y es cerrado bajo el operador binario de adición. No parece codificar la información sobre $\mathbb{Z}$'s de otros elementos.

Ahora, habiendo dicho eso, no estoy seguro de que estoy en el pie derecho aquí, así que voy analogía a algo que conozco un poco mejor: se ve, en algunos libros de texto de las definiciones, una identificación de $\mathbb{C}$ con un par ordenado $(a,b)$, $(c,d)$ con las reglas de la suma y la multiplicación que ir a $(a + c, b + d)$$(ac - bd, ad + bc)$, respectivamente, con ninguna sugerencia de inmediata acerca de la importancia de la $\mathbb{C}$ en que es la clausura algebraica de $\mathbb{R}$, que es un sistema altamente no trivial teorema que tiene que ser demostrado a través de los TLC. Hay una relación similar entre el$\mathbb{Z}_n$$\mathbb{Z}$, y es que, extensible a otros sistemas?

Agradecería cualquier respuestas y referencias adaptadas a alguien que ha tomado hasta la medianía de pregrado de matemáticas de nivel. (por ejemplo, Álgebra Lineal, elemental Álgebra abstracta, de pregrado Análisis Complejo...)

Answer 1

Bien, la primera cosa a decir es que el anillo de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es el cociente del anillo de $\mathbb{Z}$ por el ideal de la $n \mathbb{Z}$.

Es que esto ya es familiar para usted? Si no, usted debe tomar un curso y/o leer un libro básico de álgebra abstracta-y, mientras tanto, echa un vistazo a este artículo de la wikipedia. Si es así, podrías aclarar tu pregunta: lo que más de esto ¿quieres saber?

Añadido: bien, yo sin duda, entender y apreciar que usted está buscando para la penetración. En este caso no estoy seguro exactamente de cómo proporcionar. Pero voy a tratar...

Aquí es un número teórico del truco: en realidad hay un único homomorphism $f$ $\mathbb{Z}$ a cualquier anillo de $R$. De esto se sigue que si $P = P(x_1,\ldots,x_n) = 0$ es cualquier ecuación polinómica con $\mathbb{Z}$-coeficientes, entonces cualquier solución de $(a_1,\ldots,a_n) \in \mathbb{Z}^n$ induce una solución de $(f(a_1),\ldots,f(a_n)) \in R^n$. El pensamiento contrapositively, si usted puede encontrar un anillo -- cualquier anillo, de la cual el la ecuación de $P = 0$ no tiene soluciones en $R^n$, entonces usted sabe de inmediato que no tiene soluciones en $\mathbb{Z}$. La mayoría de los clásicos-y también que, no por casualidad, eficaz -- opciones de anillos de $R$ son $\mathbb{R}$ (números reales) y $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Por ejemplo:

Desde $P(x,y) = x^2 + y^2 + 3 = 0$ no tiene soluciones sobre $\mathbb{R}$, no tiene soluciones sobre $\mathbb{Z}$.

Desde $P(x,y) = x^2 + y^2 - 3 = 0$ no tiene soluciones sobre $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, no tiene soluciones sobre $\mathbb{Z}$.

Como para su más cuestión fundamental de si los anillos finitos $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ se definen en referencia a $\mathbb{Z}$: por casualidad han golpeado a uno de mis estándar pedagógico diatribas. La respuesta es un rotundo sí. Si usted no piensa de los elementos de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ como clases de equivalencia de los números enteros, ¿cómo se sabe que la adición y la multiplicación son operaciones conmutativas y asociativas, y que la multiplicación distribuye sobre la suma? Para mostrar esto, usted no tiene que decir "cociente mapa" si usted realmente no quiere, pero usted tiene que utilizar, es decir, que las operaciones de las $+,\cdot$ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ se definen en términos de los en $\mathbb{Z}$.