¿Qué es $\int x^re^xdx$?

Question

¿Hay alguna forma sencilla de obtener integral de $e^{x}x^{r}, r \in \mathbb{R}$?

Básicamente quiero resolver esto:

$$\displaystyle \int \frac{e^t(4t^2+1)}{2t \sqrt{t}}dt$$

así que agradezco cualquier ayuda tanto de los problemas anteriores.

Answer 1

Sugerencia: descomponer la integral en dos integrales $$ \int \frac{e^t(4t^2 + 1)}{2 \sqrt{t}} dt = \int 2e^t \sqrt{t} dt + \int \frac{e^t}{2t^{3/2}}dt $$

A continuación, use integración por partes en uno de ellos hasta que haya una constante en varios de los otros, y a ver qué pasa.

Nota: En general, no podemos encontrar a $\int e^x x^r dx$. La integral definida $\int_0^\infty x^r e^x dx$ es (casi) la función gamma.