Cuando es la sección global functor exacto?

Question

Dado poleas $\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2, \mathcal{F}_3$ en algunos esquema de $X$, y una secuencia exacta

$$ 0\rightarrow \mathcal{F}_1\rightarrow \mathcal{F}_2\rightarrow \mathcal{F}_3\rightarrow 0 ,$$

cuando sabemos que la sección global functor $\Gamma(X,*)$ es exacta cuando se aplica a la anterior secuencia exacta? La sección global functor es la izquierda exacto, así que supongo que me estoy preguntando ¿cuándo $\Gamma(X,*)$ preservar un surjective de morfismos de las poleas.

Por supuesto, sabemos que esta al $X=\operatorname{Spec}(A)$ es un afín y el régimen de $\mathcal{F}_i$ son coherentes $\mathcal{O}_X$-módulos. Hay más casos notables, y lo que es más importante, qué sabemos de un si y solo si la condición sobre el esquema y las poleas para asegurarse de que la sección global functor es exacta?

Answer 1

Si $X$ es Noetherian, Serre demostrado que $X$ es afín a si y sólo si $H^i(X,\mathcal{F}) = 0$ para todos los cuasi-coherentes $\mathcal{F}$$i > 0$.

La última condición es equivalente a $\Gamma(X,-)$ ser un functor exacto.