La debilidad de la convergencia en $L^2$ y uniforme covergence

Question

Tengo este problema: vamos a $f_n$ converge débilmente a $f$ $L^2[0,1]$ y deje $$F_n(x)=\int_0^xf_n(t) \, \textrm{d}t,$$ $$F(x)=\int_0^xf(t) \, \textrm{d}t.$$ A continuación, $F_n,F$ son continuos y $F_n$ converge uniformemente a $F$.

Escrito $$F_n(x)=\int_0^1 f_n(t) \mathbb{1}_{[0,x]} \, \textrm{d}t$$ y la aplicación de la Lebesgue teorema de convergencia dominada se debe probar la continuidad de $F_n$ y analougosly de $F$. Pero yo no sé acerca de la convergencia uniforme, y cómo utilizar la debilidad de la convergencia hipótesis..

Answer 1

Es posible que hay un enfoque más sencillo, pero me gustaría proceder de la siguiente manera.

1. Mostrar que $F_n \to F$ pointwise.

2. Bastaría para mostrar que $\{F_n\}$ es equicontinuous. (Recuerde que la Arzela-Ascoli teorema y/o su prueba.)

3. Mostrar que la debilidad de la convergencia implica que $\sup_n \|f_n\|_{L^2} &lt \infty$. (Utilizar el uniforme de acotamiento principio.)

4. Utilice el paso anterior, junto con la de Cauchy-Schwarz para estimar el $|F_n(x) - F_n(y)|$ independientemente de $n$.