¿Por qué un eigespacio es un subespacio lineal, si el vector cero no es un vector propio?

Question

He empezado a estudiar Eigenvector y Eigenvalue.

En mi libro dice que el 0 está excluido de ser un eigenvector porque rompe la unicidad del valor propio asociado a cada eigenvector.

Pero, hay una prueba en mi libro que muestra que el Eigenspace es un subespacio. Para que sea un subespacio, ¿significa eso que debe haber un elemento cero? Pero, Eigenvector no puede ser cero ... ¿Estoy entendiendo algo mal?

Answer 1

Tienes dos soluciones para esto.

O bien se llama a un $v \in V$ (su espacio vectorial) un vector propio de $A : V \to V$ si y sólo si existe $\lambda$ tal que $Av = \lambda v$ , en cuyo caso se dice $\lambda$ es un valor propio de $A$ asociado a $v$ .

O

Usted llama $\lambda$ un valor propio de $A$ si $\dim \ker(A - \lambda \mathrm{id}) > 0$ y se definen los vectores propios asociados al valor propio $\lambda$ como elementos no nulos de $\ker(A-\lambda \mathrm{id}_V)$ .

En ambos casos hay que excluir $0$ como un vector propio de alguna manera. También en ambos casos, el eigespacio se define como $\ker(A- \lambda \mathrm{id}_V)$ Así que, por supuesto $0$ se incluye naturalmente en él.

Espero que eso ayude,

Answer 2

El eigespacio asociado a un valor propio está formado por todos los vectores propios (que por definición no son el vector cero) asociados a ese valor propio junto con el vector cero.

Si permitiéramos que el vector cero fuera un vector propio, entonces cada escalar sería un valor propio, lo que no sería deseable.