Encontrar el límite de $(1-\cos x)/x^2$

Question

$$\lim _{x \to 0}{1-\cos x\over x^2}={2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\over x^2}={\frac{2}{x^2}\cdot {\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\over \left(\frac{x}{2}\right)^2}}\cdot\left(\frac{x}{2}\right)^2$$

ahora $$\lim_{x \to 0}{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\over \left(\frac{x}{2}\right)^2}=\left({\sin\left(\frac{x}{2}\right)\over \left(\frac{x}{2}\right)}\right)^2=1^2$$

Así que tenemos $$\frac{2}{x^2}\cdot \left(\frac{x}{2}\right)^2=\frac{2}{x^2}\cdot \left(\frac{x^2}{4}\right)=\frac{1}{2}$$

Son los movimientos de la derecha?

Answer 1

Correcto, pero demasiado complicado (y faltan varios $\lim_{x\to0}$). $$ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}= \lim_{x\to0}\frac{2\sin^2(x/2)}{4(x/2)^2}= \lim_{x\to0}\frac{1}{2}\left(\frac{\sin(x/2)}{(x/2)}\right)^{\!2}= \frac{1}{2} $$

Forma alternativa: $$ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}= \lim_{x\to0}\frac{1-\cos^2 x}{x^2(1+\cos x)}= \lim_{x\to0}\frac{1}{1+\cos x}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\!2} $$

Answer 2

Me sorprende que nadie se utiliza la Regla de L'Hospital:

$$\lim _{x \to 0}{1-\cos x\sobre x^2}\equiv \lim _{x \to 0}{\sin x\a más de 2x}\equiv\lim _{x \to 0}{\cos x\over 2}=\frac{1}{2} $$

Answer 3

Para proporcionar una corrección a su propio trabajo me iba a quitar la $\lim$ a primera porque quiero simplifica al máximo la expresión y en la última de la computación, de la siguiente manera: $${1-\cos x\over x^2}={2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\over x^2}={\frac{2}{x^2}\cdot {\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\over \left(\frac{x}{2}\right)^2}}\cdot\left(\frac{x}{2}\right)^2 ={\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\over \left(\frac{x}{2}\right)^2}\cdot \frac{1}{2}$ $ , por tanto, $$\lim{1-\cos x\over x^2}=\lim{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\over \left(\frac{x}{2}\right)^2}\cdot \frac{1}{2}=1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$