¿Hay algún método general para la solución de $(a_1+a_2+..a_n)^2=a_1^3+a_2^3+...+a_n^3$ en los enteros positivos $a_1,a_2,...a_n$?

Question

Sabemos que la identidad de $(1+2+...+n)^2=1^3+2^3+...+n^3$ . Así que tengo que pensar , por $n\in \mathbb N$ , ¿hay algún método general para la solución de $(a_1+a_2+..a_n)^2=a_1^3+a_2^3+...+a_n^3$ en los enteros positivos ? Al menos podemos encontrar todos los enteros positivos $a,b,c$ tal que $(a+b+c)^2=a^3+b^3+c^3$ ?

Answer 1

Si $(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2=a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3$$m=\max a_k$,$m\le n^2$.

De hecho, $m^3 \le \sum_{k=1}^n a_k^3 = \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \le (nm)^2 = n^2m^2$.

Esto hace que su última pregunta fácil de responder:

De hecho, si $(a+b+c)^2=a^3+b^3+c^3$$a,b,c \le 3^2=9$. Prueba todas las posibilidades que nos da exactamente dos soluciones: $(1,2,3)$$(3,3,3)$.