Subconjunto denso convexo de $\Bbb{R}^n$ es todo el espacio

Question

¿Decir que tenemos un conjunto denso convexo $X\subset\Bbb{R}^n$, sigue que $X=\Bbb{R}^n$?

$n=1$ Es cierto porque convexo conjunto de los números reales son intervalos, y si es denso entonces lo $\Bbb{R}$. De todos modos, parece más difícil en el caso general, tal vez es falso, no sé.

¿Alguna idea?

Answer 1

Esta pregunta (¿por qué tiene los mismos puntos interiores como su cierre un conjunto convexo?) muestra que el interior de $X $ es lo mismo que el interior de la clausura de $X $ (que es de $\Bbb{R}^n $). Puesto que contiene un conjunto interior, hemos terminado.

Answer 2

Utilizando la inducción sobre la dimensión $n$, es fácil demostrar que, dado cualquier conjunto de puntos de $2^n$ reunión cada cuadrante de $\Bbb R^n$, el vector cero es en su casco convexo.
Que $Q_i$ denotan el cuadrante #%-th de $i$% #%. Asumir es una $i=1,\dots,2^n$ $a$. Desde $\Bbb R^n$ está abierto, nosotros podemos elegir un $a+Q_i$ $x_i$. Ahora ya que es el casco convexo de estos $X\cap(a+Q_i)$ $a$ $x_i$ es convexo, debe ser $X$ $a$.

Answer 3

Que $x \in X$ así que podemos elegir tres puntos que $x$ está dentro del triángulo (o en el hider dimensiones $n+1$ de puntos). Podemos proxsimate puntos de $X$ que $x$ todavía está en el "triángulo". Debido a que $X$ es convexo $x \in X$. Hemos demostrado que $X= \mathbb{R}^n$. Q.E.D