Frecuencia de probabilidad

Question

Suponga que un evento tiene una probabilidad $p=1/100$ de ocurrencia, por prueba. Aquí hay tres declaraciones que creo que son verdaderas:

1. En promedio, el caso es testigo en una centésima parte de la de la ensayos.
2. El número medio de ensayos entre eventos consecutivos es $100$.
3. Es más likeley de no ver al menos un evento en un conjunto de $69$ ensayos. Este se encuentra mediante el cálculo de la probabilidad de su complemento, es decir, la probabilidad de ningún caso en la $69$ ensayos, que es $(1-p)^{69}=0.4998...$.

No puedo entender cómo afirmaciones 2 y 3 pueden ser ambas verdaderas. Hay un error en el razonamiento que en algún lugar ? Pueden ser ambas verdaderas? ¿Qué es la "frecuencia" del evento ?

Answer 1

Deje $X$ el número de ensayos antes de un evento (sin pérdida de generalidad, podemos observar en la primera vez que sucede un evento, es decir, iniciar el juicio, en $0$). A continuación, el segundo elemento puede ser reescrita $$ \mathbb{E}[X] = 100 $$ y si no me equivoco, el tercer elemento es equivalente a decir que el $$\mathbb{P}\{X > 69\} < \frac{1}{2}.$$ Para ver por qué esto no es contradictorio, por ejemplo, puede buscar en la fórmula para la expectativa $$ \mathbb{E}[X] = \sum_{n=1}^\infty n\mathbb{P}\{X=n\} = \sum_{n=0}^\infty \mathbb{P}\{X > n\}.$$

Viendo la segunda expresión, el conocimiento de que $\mathbb{P}\{X > 69\} < \frac{1}{2}$ puede llevar a pensar que "sólo la primera $69$ o así los términos de la suma de la materia (después de, los términos deben ser muy pequeñas, como son la disminución), por lo que la suma no puede ser mucho más que $69\cdot 1 = 69$." Sin embargo, esto no es del todo cierto: en efecto, los términos de la suma después de $n=69$ obtendrá más y más pequeño, pero tiene infinidad de ellos, y sumando juntos va a agregar una contribución significativa a la suma.

Esto no es muy intuitivo, pero dicho de otra manera (y en un muy handwavy manera): mira la primera expresión de la expectativa, $\sum_{n=1}^\infty n\mathbb{P}\{X=n\}$. Tema 3 medio/sugerencias para $n > 69$, el valor de $\mathbb{P}\{X=n\}$ será pequeño (y de hecho cada vez más pequeños y más pequeños muy rápidamente). Pero se multiplica esta cantidad por $n$, lo que hace que el término sea un poco más grande; y la suma de todas estas cosas. Así que incluso si la probabilidad de que usted tiene que esperar, dicen, $3000$ ensayos, es muy, muy pequeño, que finalmente se agrega para arriba (junto con la probabilidad de tener que esperar a $10^6$ ensayos, incluso los más pequeños, etc), la polarización de la expectativa hacia valores más altos que los que iba a "esperar".

Answer 2

Agregar a Clemente respuesta: Si se piensa en los eventos como la posible desintegración de un átomo radiactivo, con un ensayo por segundo, luego de sus declaraciones 2 y 3 reflejan la diferencia entre la vida media del elemento (que sería de alrededor de $100$ segundos), y la vida media del elemento (que sería de alrededor de $69$ segundos).

El inter-evento de tiempo sigue una distribución geométrica, con el tiempo $\tau$ entre los acontecimientos de la distribución de probabilidad

$$ P(\tau = n) = p(1-p)^n $$

con $p = 1/100$. (Se podría escribir $n-1$ en el exponente, dependiendo de lo que significa "entre".) La continua analógica de esto es la distribución exponencial, donde la función de densidad de probabilidad (PDF) de la inter-evento de tiempo está dada por

$$ f_\tau(t) = \lambda e^{-\lambda t} $$

con $\lambda = 1/100$. Aquí, $\lambda$ da (como $p$, por encima de la "tasa", que se puede notar es el derivado $f'_\tau(0)$. Resulta que para esta distribución, la vida media de un átomo está dado por $1/\lambda = 100$.

Sin embargo, la vida media del elemento está dado por la función de distribución acumulativa (CDF), que es el de la integral definida, de$0$$t$, de los PDF. Es decir,

$$ F_\tau(t) = \int_{x=0}^t f_\tau(x) \, dx = 1-e^{-\lambda t} $$

El CDF da la probabilidad de que un evento ocurre antes de tiempo $t$; lo que es equivalente, para este escenario, se da la proporción de la muestra que se ha deteriorado por el tiempo,$t$. Por lo tanto, la mitad de la vida se rige por

$$ e^{-\lambda t} = \frac{1}{2} $$ $$ \lambda t = \ln 2 \doteq 0.69315 $$

razón por la cual se encuentran la mitad de la vida y la vida media del ser relacionadas en aproximadamente un $69:100$ proporción.

Answer 3

Usted no ha formulado la declaración de 2 como una declaración precisa, es decir, como el resultado de una estrategia bien definida, sin ambigüedades, dijo de problemas de probabilidad.

Como para la instrucción 3, hay que implícitamente supone el resultado por el juicio independiente a través de ensayos, sin embargo en ninguna parte es este supuesto incluido en sus supuestos. Instrucción 3 puede ser falso si los resultados por prueba no son independientes. La corrección de una exponen en la versión de instrucción 2 también pueden ser afectados por la independencia o no de los resultados por prueba.

Como para su paradoja en virtud de su interpretación de la declaración 2 y su implícito de la independencia de la asunción, la línea de fondo es que no todas las distribuciones de probabilidad son simétricas, y por lo tanto el valor esperado de una variable aleatoria no tiene que ser igual a su valor medio. En particular, el tiempo de espera entre las ocurrencias de un evento, cuando el evento es independiente a través de ensayos, no es simétrica.

Editar: Respecto a la instrucción 2, considere la siguiente distribución de probabilidad, que es plenamente coherente con el problema original especificación: Con una probabilidad de 1/100, el evento se produce en todas las pruebas, y con una probabilidad de 99/100 nunca se produce. En tal caso, se espera que el número de ensayos entre las apariciones del evento, dado que se produce, es 1. La probabilidad de que el evento ocurra es de 1/100.

Hay varias maneras de hacer la declaración de 2 definidos con precisión y sin ambigüedades. Una forma sería la de definir como el número esperado de ensayos entre las apariciones del evento, dado que se produce el evento. Hay otras posibilidades, tales como la definición de la esperada serie de pruebas entre las ocurrencias del evento como igual al número esperado de ensayos entre ocurrencias del evento si la probabilidad de que el evento ocurra es igual a 1, y como igual a infinito si la probabilidad de que el evento ocurra es menor que 1. En el ejemplo proporcionado, la antigua definición de resultados en la respuesta 1, mientras que para la segunda definición, el resultado es infinito.