Que $(x_n)$ ser una limitada pero no convergente secuencia. Demostrar que $(x_n)$ tiene dos subsecuencias convergiendo a límites diferentes.

Question

Deje $(x_n)$ ser una acotada pero no convergente de la secuencia. Demostrar que $(x_n)$ tiene dos subsecuencias convergentes a límites diferentes.

Mi intento es: Ya que la secuencia es acotado , existe $M>0$ tal que $x_n \in [-M,M]$ todos los $n \in \mathbb{N}$. Dado que la secuencia no converge a $x$ existe $\epsilon_0>0$ tal que $ \forall N \in \mathbb{N}$ existe $n \geq N$ tal que $|x_n-x| \geq \epsilon_0$.

Luego tenemos a $x_n \in [-M,x-\epsilon_0] \cup x_n \in [x+\epsilon_0,M]$. Por Bolzano-weierstrass teorema, existe una convergente larga en los dos intervalos.

Es mi prueba válida? ${}{}$

Answer 1

Uso de Bolzano-Weierstrass para extraer un subsequence $x_{i_1}, x_{i_2}, \dotsc$ que converge a un $a$. Puesto que no convergen $x_1, x_2, \dotsc$ $a$, existe un $\varepsilon > 0$ tal que para cada entero positivo $N$, existe un $j(N) > N$ tal que $|x_{j(N)} - a| \geq \varepsilon$. Uso de Bolzano-Weierstrass para extraer un subsequence $x_{j(1)}, x_{j^2(1)}, x_{j^3(1)}, \dotsc$ que converge a un $x_{k_1}, x_{k_2}, \dotsc$ $b$. Claramente, $a \neq b$.

Por cierto, este método funciona para cualquier $x_1, x_2, \dotsc$ $\mathbb{R}^n$, que va más allá de lo que pretendía el OP.

Answer 2

• Si una secuencia $(x_n)$ es acotado, $a\le x_n \le b$ decir, entonces tiene al menos un punto límite $x$ $a\le x\le b$ (Bolzano-Weierstraß) y
• un almacén de secuencia con exactamente un punto límite $x$ converge hacia que punto límite.

Por tanto, debe existir al menos dos distintos límite de puntos y podemos extraer una síntesis de la secuencia de cada uno.

Sólo en caso de que el segundo bullit punto anterior no está claro: Si $a\le x_n\le b$ todos los $n$ $x$ no es el límite de $x_n$, entonces no existe $\epsilon>0$ de manera tal que una infinidad de $x_n$ son de fuera de $(x-\epsilon,x+\epsilon)$, por lo tanto, hay una infinidad de $x_n>x+\epsilon$ o infinidad de $x_n<x-\epsilon$, lo que en al menos un punto límite $x'$ $[x+\epsilon,b]$ o $[a,x-\epsilon]$. Por lo tanto si $x$ es un punto límite, pero no el límite, hay otro punto límite $x'\ne x$.

Answer 3

Sí, válido, pero podría escribir más claro.

Para cada $N$ allí es una $n$ tal que $|x_n-x|\ge \epsilon_0$. Que tal un $n$ elegido para todas las $N$ y denotan por $k(N)$, por ejemplo. Así conseguimos un subsequence $(x_{k(1)},x_{k(2)},\dots)$ $(x_n)$, que se encuentra en $[-M,x-\epsilon_0]\cup [x+\epsilon_0,M]$, por lo que este subsequence tiene un subsequence convergente, y el límite de no puede ser $x$.