Número de palabras- Letras adyacentes desiguales

Question

Cuántas palabras de longitud $6$ ¿hay casos en los que no se permite que las letras adyacentes sean iguales?

Mi intento: Tenemos $26$ opciones para la primera posición y $25$ para el resto de $5$ posiciones porque si elegimos cualquier alfabeto para la primera posición tenemos $25$ para el segundo y para el tercero todavía tenemos $25$ ( $-1$ para la letra que está en $2$ posición) y así sucesivamente.

Entonces, ¿es $26 \cdot 25^{5}$ ¿la respuesta correcta?

Answer 1

Sí, la respuesta será $$ 26 * 25^5 $$ y su método es absolutamente correcto.

Answer 2

Aquí hay información adicional que afirma su respuesta.

Las palabras sin letras iguales consecutivas se denominan Palabras de Smirnov . Si tiene curiosidad, puede consultar el ejemplo III.24 en Combinatoria analítica que explica algunas de sus propiedades.

Contamos el número de palabras de Smirnov de longitud $n$ con la ayuda de _serie de potencia formal_ . Los coeficientes de $z^n$ dar el número de palabras de longitud $n$ .

Resulta que el serie de potencia de las palabras de Smirnov con $26$ letras es \begin{align*} \left(1-\frac{26z}{1+z}\right)^{-1}&=\frac{1+z}{1-25z}\\ &=1+26z+650z^2+16250z^3\\ &\qquad+406250z^4+10156250z^5+253906250z^6+\cdots \end{align*}

Los coeficientes de $z^n$ se calcularon con la ayuda de Wolfram Alfa.

Observamos que el número de palabras de Smirnov de longitud $6$ es \begin{align*} 253906250=2\cdot5^{10}\cdot13=26\cdot25^5 \end{align*}