Imágenes de homomorphisms compuestos

Question

Deje $R$ ser un anillo y $M,N,S$ $R$- módulos. Deje $\varphi_1 : M\to N$ $\varphi_2 : N\to S$ ser homomorphisms. A continuación,$\operatorname{im}(\varphi_2\circ\varphi_1) \subseteq \operatorname{im}(\varphi_2)$$\ker(\varphi_1) \subseteq \ker(\varphi_2\circ\varphi_1)$, de modo que se pueda formar la cocientes $\operatorname{im}(\varphi_2)/\operatorname{im}(\varphi_2\circ\varphi_1)$$\ker(\varphi_2\circ\varphi_1)/\ker(\varphi_1)$.

Para los granos, la aplicación del primer teorema de isomorfismo a la homomorphism $\varphi_1|_{\ker(\varphi_2\circ \varphi_1)} : \ker(\varphi_2\circ \varphi_1) \to N$ los rendimientos de la buena descripción $$ \ker(\varphi_2\circ\varphi_1)/\ker(\varphi_1) \cong \operatorname{im}(\varphi_1) \cap \ker(\varphi_2). $$

Ahora mi pregunta es:

Hay una descripción similar para el cociente $$\operatorname{im}(\varphi_2)/\operatorname{im}(\varphi_2\circ\varphi_1)?$$

No tuve éxito en la búsqueda de una adecuada aplicación del primer teorema de isomorfismo en este caso.

Podemos observar que el anterior razonamiento para los kernels funciona exactamente de la misma para homomorphisms de grupos. Sin embargo, para el cociente de las imágenes para hacer sentido para grupos, tenemos la propiedad adicional $\operatorname{im}(\varphi_2\circ\varphi_1)$ es un subgrupo normal de $\operatorname{im}(\varphi_2)$.

Esto indica que la situación puede ser un poco diferente para el cociente de las imágenes. Si es necesario, por favor, asumir la propiedad adicional sobre el ring $R$ para obtener una respuesta significativa.

Answer 1

Para facilitar la notación, que $A = \operatorname{im}\varphi_1 \subset N$, $T = \operatorname{im}\varphi_2 \subset S$ y $Q = T/\operatorname{im} (\varphi_2\circ\varphi_1) = T/\varphi_2(A)$. Considerar el mapa $\psi = \pi \circ \varphi_2 \colon N \to Q$, $\pi \colon T \to Q$ Dónde está la proyección canónica.

Es el núcleo de $\psi$

$$\ker \psi = \psi^{-1}(0) = \varphi_2^{-1}(\pi^{-1}(0)) = \varphi_2^{-1}(\varphi_2(A)) = A + \ker\varphi_2,$$

y $\psi$ es sobreyectiva porque $\varphi_2$ y $\pi$ son ($\varphi_2$ consideradas como un homomorfismo a $T$). Por el teorema de homomorfismo, tenemos un isomorfismo inducida

$$\overline{\psi} \colon \frac{N}{\operatorname{im}\varphi_1 + \ker \varphi_2} \to Q = \frac{\operatorname{im}\varphi_2}{\operatorname{im}(\varphi_2\circ\varphi_1)}.$$