¿$f(x)=x^{3}+1$ - Inyectiva y sobreyectiva?

Question

El Dr. Pinter "Un Libro de Álgebra Abstracta" presenta este ejercicio:

Demostrar/desmentir si la siguiente función $f$ (con entradas/salidas de los números reales) es inyectiva y/o surjective: $$f(x)=x^{3}+1.$$

El uso de este útil respuesta, he resuelto para $$f(a)=f(b)\colon$$

$$f(a)=a^{3}+1$$ $$f(b)=b^{3}+1$$ $$a^{3}+1=b^{3}+1$$ $$a^{3}=b^{3} \text{ subtract 1 from each side}$$ $$(a^{3})^{1/3}=(b^{3})^{1/3} \text{ take the cubic root of each side}$$ $$a=b$$

Por lo tanto, $f$ es inyectiva.

De nuevo, después de que responder de manera útil, resolver por $x$, y luego enchufe en la $f(x)$:

$$y=x^{3}+1$$ $$y-1=x^{3}$$ $$x=(y-1)^{\frac{1}{3}}$$

Ahora, conecte $x$ a $f$, y comprobar si el resultado es igual a $y$, lo que demostraría la surjective de la propiedad.

$$f(x)=x^{3}+1$$ $$y=((y-1)^{1/3})^{3}+1 \text{ use $s$ rather than $f(x)$}$$ $$y=y-1+1$$ $$y=y$$

Por lo tanto, también surjective.

Esto es correcto?

Answer 1

Como en la respuesta que usted enlazado (mi respuesta), me gustaría tratar de la estructura de las pruebas más claramente:

Reclamo: La asignación de $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definido por $f(x)=x^3+1$ es inyectiva.

Prueba. Deje $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ y supongamos $f(x_1)=f(x_2)$. Entonces $$ f(x_1)=f(x_2)\\[0.5 em] x_1^3+1=x_2^3+1\\[0.5 em] x_1^3=x_2^3\\[0.5 em] x_1=x_2. $$ Por lo tanto, la asignación es inyectiva. $\blacksquare$

Reclamo: La asignación de $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definido por $f(x)=x^3+1$ es surjective.

Prueba. Supongamos $y\in\mathbb{R}$. A continuación, vamos a $x=\sqrt[3]{y-1}$. Tenemos las siguientes: \begin{align} f(x) &= x^3+1\\[0.5em] &= (\sqrt[3]{y-1})^3+1\\[0.5em] &= (y-1)+1\\[0.5em] &= y. \end{align} Por lo tanto, la asignación es surjective. $\blacksquare$

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Nota: Como ya hemos visto, la redacción de las pruebas en matemáticas no es sólo acerca de exprimir una fiel prueba de ello. Quieres escribir de forma clara, concisa, etc. El objetivo es ser conciso, pero no a costa de la claridad. Con frecuencia, esta es una línea muy fina a pie.

Answer 2

Como prueba de su de $f$ ser inyectiva es correcta (aunque cuando están en el punto de $a^3 = b^3$ desea elevar cada lado de la $\frac{1}{3}$ el poder, no el $-3$rd). Como para el surjective parte, también me gustaría personalmente mencionar que conoces $x = \sqrt[3]{y-1}$ es en el dominio de $f$ porque $\sqrt[3]{y-1}$ existe para cada $y \in \mathbb{R}$. Después de todo, este es el punto clave de una función que se surjective. No sólo el hecho de que usted puede conectar en $x$ y consigue $y=y$. Puede ser claro para usted o los demás ya que el $\sqrt[3]{y-1}$ existe para cada $y \in \mathbb{R}$, pero si usted acaba de empezar a trabajar con a/a propiedades de las funciones, creo que es algo que debe ser explícitamente. Todos en todos, buen trabajo!