Tengo que dividir $\Phi_{15}$ en factores irreducibles sobre el campo $\mathbb{F}_7$. Ha sido un tiempo que hice este tipo de cosas, y a decir la verdad, nunca he comprendido este asunto. Realmente agradecería si alguien me puede mostrar como funciona esto. No le pido hacer todo este trabajo. Sería mejor si me gustaría conseguir algunos consejos sutiles en su lugar.
Usar la siguiente definición: $$ \Phi_n(X) \quad = \quad \prod_{ord(\zeta) = n} (X - \zeta) $$
Considere la posibilidad de que $x^3-1$ completamente divide $\mathbb{F}_7$ como: $$ x^3-1 = (x-2)(x-1)(x+3) \tag{1}$$ mientras que $x^5-1$ divisiones como: $$ x^5-1 = (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1),\tag{2}$$ desde el más pequeño campo con la característica $7$, en la que existe una primitiva de la quinta raíz de la unidad si $\mathbb{F}_{7^4}$, debido a $k=4$ es el primer número natural tal que $5\mid 7^k-1$. Por la misma razón, la división de campo de la $x^{15}-1$$\mathbb{F}_7$$\mathbb{F}_{7^4}$. Desde $\deg \Phi_{15} = 8$, $\Phi_{15}$ divisiones como el producto de dos polinomios irreducibles de grado cuatro más de $\mathbb{F}_7$.
La clave lema es el siguiente: si $x^l-1$ completamente divide$\mathbb{F}_{7^a}$, $l$ debe dividir $|\mathbb{F}_{7^a}^*|=7^a-1$ por la del teorema de Lagrange. Desde el grupo multiplicativo de un campo finito es cíclica, esto le da también una condición suficiente para $\mathbb{F}_{7^a}$ a la división de campo de la $x^l-1$$\mathbb{F}_7$.
Volvemos a la pregunta original, ¿cómo recuperar los dos factores de $\Phi_{15}$? Basta con mirar en el Jyrki Lahtonen la respuesta, que muestra cómo el Frobenius automorphism de un campo finito $\mathbb{F}_{p^4}\simeq \mathbb{F}_p[x]/(q(x))$ da que las raíces de $q(x)$ son de la forma $\xi,\xi^p,\xi^{p^2},\xi^{p^3}$.
Cada una de dichas $\zeta$ puede escribirse de forma única como $\zeta_1\zeta_2$ donde$\mathrm{ord}(\zeta_1)=3$$\mathrm{ord}(\zeta_2)=5$. Los casos en donde la $\mathrm{ord}(\zeta_1)=3$$2,4$.
El $\zeta_2$ valores que son raíces de $1+x+x^2+x^3+x^4=(x-\zeta_5)(x-\zeta_5^2)(x-\zeta_5^3)(x-\zeta_5^4)$. Así $$\begin{align}(x-2\zeta_5)(x-2\zeta_5^2)(x-2\zeta_5^3)(x-2\zeta_5^4)& = 2^4+2^3x+2^2x^2+2x^3+x^4 \\&= 2+x+4x^2+2x^3+x^4\end{align}$$
$$\begin{align}(x-4\zeta_5)(x-4\zeta_5^2)(x-4\zeta_5^3)(x-4\zeta_5^4)& = 4^4+4^3x+4^2x^2+4x^3+x^4 \\&= 4+x+2x^2+4x^3+x^4\end{align}$$
Así, los productos de estos se $\Phi_{15}(x)$.
No hay raíces para estos, por lo que la única manera posible de factores que pueden ser cuadráticas.
La única opción posible es: $(x-2\zeta_5)(x-2\zeta_5^4)=x^2-2(\zeta_5+\zeta_5^4)x+4$ $(x-2\zeta_5^2)(x-2\zeta_5^3)$ para el primero, y los relacionados con el factoring para el segundo. Pero eso sólo funciona si $\zeta_5+\zeta_5^4\in\mathbb F_7$, lo que sabemos de manera algebraica requiere de $\sqrt{5}\in\mathbb F_7$, que no es el caso. Así:
$$\Phi_{15}(x)=(2+x+4x^2+2x^3+x^4)(4+x+2x^2+4x^3+x^4)$$
+1 a la cuestión, y por tanto las respuestas.
Koenraad, una manera diferente de llegar a la conclusión de Jack respuesta es el uso de la teoría de Galois. Esperemos que recordar que los grupos de Galois de finito campos son generados por la Frobenius mapa - en este caso $F:a\mapsto a^7$. Así que si $\zeta$ es un fijo primitivo decimoquinta de la raíz de la unidad en cualquier campo de la extensión $L$ $K=\Bbb{F}_7$ reside, sus conjugados son $$ \zeta^7,\quad \zeta^{49}=\zeta^{3\cdot15+4}=\zeta^4,\quad\zeta^{4\cdot7}=\zeta^{15+13}=\zeta^{13},\quad\zeta^{7\cdot13}=\zeta^{6\cdot15+1}=\zeta. $$ Así que por iteración en la Frobenius mapa que genera la lista de cuatro conjugados. Por lo tanto, la polinomio $$ p(x)=(x-\zeta)(x-\zeta^7)(x-\zeta^4)(x-\zeta^{13}) $$ es el polinomio mínimo de a$\zeta$$K$. Un truco interesante en Thomas respuesta se basa en la observación de que podemos escribir estos conjugados en la forma $$ \begin{aligned} \zeta&=\zeta^{10}\zeta^6\\ \zeta^7&=\zeta^{10}\zeta^{12}\\ \zeta^4&=\zeta^{10}\zeta^9\\ \zeta^{13}&=\zeta^{10}\zeta^3, \end{aligned} $$ donde el factor recurrente $\zeta^{10}$ en el lado derecho es de orden tres (y puede ser identificado como un elemento de $K$), y los otros factores son exactamente las raíces de la unidad de orden cinco.
No sé si esto ayuda. Pregunte si usted necesita más detalles.
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