Cómo mostrar $ \left(\frac{1-x}{2}\right)^p+\left(\frac{1+x}{2}\right)^p \leq \frac{1+x^p}{2}$

Question

Cuando $p\geq 2$ y $0\leq x\leq1$, cómo uno muestra las desigualdades $$ \left(\frac{1-x}{2}\right)^p+\left(\frac{1+x}{2}\right)^p \leq \frac{1+x^p}{2}$$ and $% $ $ 2(1+x^p)\leq (1+x)^p + (1-x)^p \ ?$

La primera de ellas se parece a una corrección de la ley del paralelogramo para potencias superiores a $p=2$, he probado usando eso y reorganizando, pero no ha funcionado. También he intentado diferenciar pero luego no sé cómo manejar las nuevas expresiones.

Se trata de un examen de calificación en el análisis. Básicamente el problema se convierte en trivial si uno muestra las desigualdades.

¡Gracias!

Answer 1

Para el segundo, el lado izquierdo disminuye a medida que aumenta el valor de P y el lado derecho como el valor de P aumenta. Así que si se presenta el caso más pequeño es true (P = 2 y x deben ser elegidos para maximizar el lado izquierdo) yo creo que sería la segunda desigualdad. Por supuesto también sería necesario probar el lado izquierdo disminuye y el lado derecho aumenta a medida que P aumenta.