$\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n}(1-\frac{3x}{n})^ne^{\frac{x}{2}}dx$=?

Question

$$\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n}\left(1-\frac{3x}{n}\right)^ne^{\frac{x}{2}}dx$$

He pensado usando el teorema de convergencia monótona y tenía %#% $ de #% está aumentando. pero no sé donde es válido escribir: $$f_n{(x)}=\left(1-\frac{3x}{n}\right)^ne^{\frac{x}{2}} \lambda_{[0,n]}(x)$ $

Answer 1

La integral diverge. Para ver esto, podemos escribir

$$\int_0^n \left(1-\frac{3x}n\right)^ne^{x/2}\,dx=\int_0^{n/3} \left(1-\frac{3x}n\right)^ne^{x/2}\,dx+\int_{n/3}^n \left(1-\frac{3x}n\right)^ne^{x/2}\,dx \tag 1$$

Vamos a presentar dos partes. En la Parte $1$, vamos a mostrar que la primera integral en el lado derecho de la $(1)$ converge. En la Parte $2$, vamos a mostrar que la segunda integral diverge.

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PARTE $1$:

La primera integral en el lado derecho de la $(3)$ puede ser fácilmente demostrado que convergen. En ESTA RESPUESTA, he utilizado sólo el límite de la definición de la función exponencial y la Desigualdad de Bernoulli para establecer que la función exponencial satisface la desigualdad

$$\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\le e^x$$

para $x>-n$. Por lo tanto, podemos afirmar que el $\left(1-\frac{3x}n\right)^n\le e^{-3x}$$x<n/3$. A continuación, podemos escribir

$$\begin{align} \int_0^{n/3}\left(1-\frac{3x}n\right)^ne^{x/2}\,dx&=\int_0^{\infty}\left(1-\frac{3x}n\right)^n\,\lambda_{[0,n]}(x)\,e^{x/2}\,dx\\\\ &\le \int_0^\infty e^{-5x/2}\,dx\\\\ &=\frac25 \end{align}$$

El teorema de convergencia dominada garantiza que

$$\begin{align} \lim_{n\to \infty}\int_0^{n/3}\left(1-\frac{3x}n\right)^ne^{x/2}\,dx&=\int_0^\infty \lim_{n\to \infty}\left(1-\frac{3x}n\right)^n\,\lambda_{[0,n]}(x)\,e^{x/2}\,dx\\\\ &=\int_0^\infty e^{-3x}\,(1)\,e^{x/2}\,dx\\\\ &=\frac25 \end{align}$$

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PARTE $2$:

Ahora vamos a analizar la segunda integral en el lado derecho de la $(1)$. Aplicamos la sustitución de $x\to nx/3$ a revelar

$$\begin{align} \int_{n/3}^n \left(1-\frac{3x}n\right)^ne^{x/2}\,dx&=\frac{n}{3} \int_1^{3}\left(1-x\right)^ne^{nx/6}\,dx\\\\ &=(-1)^n\frac{n}{3}e^{n/6}\int_{0}^{2}x^ne^{nx/6}\,dx \end{align}$$

Desde $\int_0^2 x^ne^{nx/6}\,dx\ge \frac{2^{n+1}-1}{n+1}$, luego tenemos

$$\lim_{n\to \infty}\int_{n/3}^n \left(1-\frac{3x}n\right)^ne^{x/2}\,dx= \begin{cases} \infty&, n\,\,\text{even}\\\\ -\infty&, n\,\,\text{odd} \end{casos}$$

Por lo tanto, el límite de interés no existen y que no se puede intercambiar el orden de límite de la integral.

Answer 2

Que $f_n(x)=\left(1-\frac{3x}{n}\right)^ne^{x/2}$.

Entonces $$\lim_{n\to\infty }f_n(x)\lambda_{[0,n]}(x)=\lim_{n\to\infty }f_n(x)\cdot \underbrace{\lim_{n\to\infty }\lambda_{[0,n]}(x)}_{=\lambda_{[0,\infty [}(x)}=\lambda_{[0,\infty [}(x)\lim_{n\to\infty }f_n(x).$ $

Por lo tanto $$\int \lim_{n\to\infty }f_n(x)\lambda_{[0,n]}(x)\mathrm d x=\int \lambda_{[0,\infty [}(x)\lim_{n\to\infty }f_n(x)\mathrm d x=\int_0^\infty \lim_{n\to\infty }f_n(x)\mathrm d x.$ $