la respuesta a su pregunta es sí. Tenga en cuenta que, todo lo que usted necesita para probar es la siguiente igualdad
$$
\int_{E} X\ dP
=
\int_{E} \left[\int_{\Omega} X\ dP(\cdot|\mathcal{N})(\omega) \right]
dP|_{\mathcal{N}} \qquad \qquad (1).
$$
para todos los $E\in\mathcal{N}$.
La forma más sencilla de hacer esto es empezar de funciones características y, a continuación, utilizar la linealidad y, finalmente, el potente aproximación teoremas de la teoría de la medida.
Comencemos con el caso de $X=1_{A}$ donde $A\in \mathcal{F}$. En este caso, la anterior igualdad se mantiene siempre como
$$
P(a\cap E)=\int_{\Omega} \left[\int_{\Omega} 1_{A\cap E}\ dP(\cdot|\mathcal{N})(\omega) \right]
dP|_{\mathcal{N}}.
$$
Pero esto es cierto y podemos probar esto de la manipulación de los rhs. De hecho
$$
\int_{\Omega} \left[\int_{\Omega} 1_{A\cap E}\ dP(\cdot|\mathcal{N})(\omega) \right]
dP|_{\mathcal{N}}
=
\int_{\Omega} \mathbb{E}(A\cap E|\mathcal{N})
dP|_{\mathcal{N}}
=
\int_{E} \mathbb{E} (\mathcal{N})
dP|_{\mathcal{N}},
$$
donde hemos utilizado en la última igualdad que $E$ $\mathcal{N}$ medibles.
Pero el lado derecho de arriba es de las propiedades de la esperanza condicional es igual a $P(A\cap E)$. De modo que la identidad (1) se cumple para cualquier función característica y para todos los $E\in\mathcal{N}$.
Por la linealidad de la integral (1) es cierto si $X$ es cualquier función simple. Deje $X$ positivos $\mathcal{F}-$medibles función. Sabemos que hay una secuencia de funciones simples $\varphi_n \uparrow X$, aquí la flecha hacia arriba significa monotonía de convergencia. Ya que en este punto es claro para nosotros que
$$
\begin{eqnarray}
\int_{E} \varphi_n\ dP
&=&
\int_{E} \left[\int_{\Omega} \varphi_n\ dP(\cdot|\mathcal{N})(\omega) \right] dP|_{\mathcal{N}}
\\
&=& \int_{E} \mathbb{E}(\varphi_n|\mathcal{N}) dP|_{\mathcal{N}},
\end{eqnarray}
$$
podemos terminar la prueba invocando la Monotonía Teorema de Convergencia.
Edición. He corregido el error señalado por Didier Piau.
Además. Teorema. Deje $(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ $\sigma$- finito medir el espacio, $\mathcal{A}$ un sub-$\sigma$-álgebra de $\mathcal{B}$, e $\nu=\mu|_{\mathcal{A}}$. Si $f\in L^1(\mu)$, $g\in L^1(\nu)$ (lo $g$ $\mathcal{A}$medible) tales que
$$
\int_{E} f\ d\mu =\int_{E} g\ d\nu
$$
para todos los $E\in A$; si $g'$ es otro ejemplo de la función, a continuación,$g=g'$ $\nu$- una.e. (Tenga en cuenta que $g$ es la esperanza condicional de $f$$\mathcal{A}$. (Folland)
