¿Por qué podemos descuidar superficie términos en teoría del campo?

Question

Mi maestra dice que la integral $$\int _{-\infty }^{\infty }\frac{\partial J^{\mu }}{\partial x^{\mu}}d^4x$$ that we met in QFT can always be neglected since $$\int _{-\infty }^{\infty }\frac{\partial J^{\mu }}{\partial x^{\mu} }d^4x=\int_{-\infty }^{\infty } J^{\mu } n_{\mu } \, ds=0.$$ The second term in the above equation equals zero since $J^{\mu }$ se va a cero en el infinito. No entiendo muy bien esto.

Supongamos $J^{\mu }$ es una cierta cantidad en el espacio-tiempo, la siguiente figura ilustra el caso:

En la imagen, dibujé una secuencia de tiempo de la cantidad de $J^{\mu }$, y la sombra de volumen debe ser el dominio de la integral. El volumen de ampliar hasta el infinito en este caso integral.

Cuando queremos que la integral de la $\int _{-\infty }^{\infty }\frac{\partial J^i}{\partial x^{i}}d^3x$ sobre el volumen de espacio, el resultado también es cero debido a la razón que $$\int _{-\infty }^{\infty }\frac{\partial J^i}{\partial i}d^3x=\int_{-\infty }^{\infty } J^i n_i \, ds=0.$$

Mi pregunta es la siguiente:

1. No veo la razón por la $J^{\mu }$ es igual a cero en el infinito. Yo sólo encontrar que $\int _{-\infty }^{\infty }\frac{\partial J^i}{\partial x^{i}}d^3x$ $\int _{-\infty }^{\infty }\frac{\partial J^{\mu }}{\partial x^{\mu} }d^4x$ ir a cero debido a que el monto de las cantidades que entran en la región son los mismos que los que están saliendo de la región, pero no por la cantidad en sí misma, va a cero.

2. Podemos utilizar el paquete idea para la construcción de las cantidades que son cero en el infinito, por ejemplo:

Pero incluso si hacemos esto, la razón por la que la integral va a cero aún es que en la pregunta 1, pero no es lo que dice mi profesor que llega a cero. Cero parece ser una "superficial" de la razón.

3. Si adopto a mi opinión del maestro, tengo la intuición de que puede violar la regla de que la información no puede propagarse más rápido que la velocidad de la luz. Puede el estado de la superficie en la lejana influencia de los fenómenos en un área local al instante?

Answer 1

Me gustaría añadir que, en algunos casos, incluso si el plazo es de un total de derivados -- una superficie de plazo, por el teorema de Stokes, no podemos descuidar en QFT! Esto también va a ampliar un poco Valter Moretti punto en que tenemos que utilizar algún tipo de condiciones de contorno.

Para este propósito, consideremos $$S_\theta = \int_M \operatorname{tr} F \wedge F.$$ Aquí $M$ es de 4 dimensiones espacio-tiempo, $F$ es el medidor de intensidad de campo para un no-Abelian teoría de gauge, $F = dA + A \wedge A$, por lo que sus componentes son matrices, es por eso que tenemos la traza. Usted puede estar familiarizado con esta $\wedge$$d$. Se les conoce como la "cuña de producto" y "exterior derivado". En el índice de notación, que corresponden a la toma de la anti-simétrica producto; y tomando la derivada, entonces el totalmente anti-simétrica parte, así: $A \wedge A $ corresponde a $A_\mu A_\nu - A_\nu A_\mu$$dA$$\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\nu$. Tenga en cuenta que $A \wedge A \neq 0$ debido a que cada componente de $A$ es una matriz. Usted puede hacer todo esto con Levi-Civitas, p. ej., $$S_\theta = \int d^4 x \, \operatorname{tr} \epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} F^{\mu\nu} F^{\rho\sigma} \tag{1} $$ pero que conduce a la escritura más índices que yo quiero.

De todos modos, resulta que $$\operatorname{tr} F\wedge F = d \operatorname{tr} (dA\wedge A + \frac{2}{3} A\wedge A \wedge A)$$ (para mostrar esto: $d^2 = 0$, el producto de la regla se aplica a $d$, e $\operatorname{tr} A^{\wedge 4} = 0$ debido a la cíclico de la propiedad de la traza.) Así tenemos que por el teorema de Stokes $$S_\theta = \int_{S^3} \operatorname {tr} (dA\wedge A + \frac{2}{3} A \wedge A \wedge A) $$ donde $S^3$ es una 3-esfera en el infinito, el "límite de tiempo". Como condición de contorno, debemos utilizar ese $F = 0$ en el infinito. A continuación, $$S_\theta = -\frac{1}{3} \int_{S^3} \operatorname A\wedge A \wedge A.$$ Ahora, si $F = 0$, es posible encontrar un indicador de transformación tal que $A = 0$. Así es $S_\theta = 0$? No!

Pero, ¿cómo? Es topológico. $A$ define una función $S^3 \to G$ donde $G$ es el grupo gauge. Esta función pertenece a $\pi_3$, que significa algo que se llama el "tercer homotopy grupo", que es una generalización del concepto de liquidación número. Usted sabe cómo si dibujar una curva cerrada -- topológicamente un círculo-en el avión, sin cruzar por el origen, el número de veces que los vientos alrededor del origen no puede ser cambiado por la flexión de estiramiento de la curva sin problemas? El tercer homotopy grupo es igual, excepto que es acerca de cómo 3-esferas de envolver alrededor de la meta de espacio. (No sé cómo visualizar bien!)

Si $G = SU(n)$$n\ge 2$, $\pi_3$ es igual que la liquidación número: es un número entero. Lo que esto significa es que , a menos que la "liquidación" de $A$$0$, un indicador de la transformación no puede hacer $A = 0$ todas partes en $S^3$.

Así hemos demostrado que $S_\theta \neq 0$ en general, incluso cuando usamos la condición de contorno $F =0$ en el infinito. De hecho, $S_\theta = \theta n $ donde $n$ es la "bobina" número y $\theta$ es una constante. Pero, ¿por qué debería importarnos? Porque es una superficie de plazo, y las variaciones se toma con la condición límite de que la variación se desvanecen en el límite, $S_\theta$ no hace ninguna contribución a la de Euler-Lagrange ecuaciones de campo. Pero esto es cuántica, la teoría del campo, y realmente quiero que la ruta integral $$\begin{align} \mathcal Z &= \int D[A, \psi, \ldots]\, \exp(-i(S_0[A, \psi, \ldots] + S_\theta)) \\ & = \sum_n \int D[A, \psi, \ldots]\, \exp(-i S_0[A, \psi, \ldots]) e^{-in\theta} \end{align} $$ donde en la segunda línea, cada integrante es sólo a través de $A$ de manera tal que la liquidación número es $n$. Por lo $S_\theta$ determina la interferencia entre diferentes caminos. Esto significa que se puede-y lo hace-tiene efectos físicos en la teoría cuántica de campos. Por ejemplo, a partir de (1) se puede ver que debido a que hay un Levi-Civita, $S_\theta$ viola la simetría de paridad.

Yo creo que estos topológica de los argumentos de la liquidación de los números y otros conceptos similares son geniales. Así lo hace el comité del premio Nobel, porque el premio de este año fue acerca de cosas como esta. Si quieres aprender más, algunas palabras clave para buscar instantons, topológico de la teoría cuántica de campos (TQFT), theta términos, fuerte $CP$ problema, axiones...

Answer 2

Sin algunas hipótesis particulares en $J^\mu$ la declaración es simplemente falsa. Hay tantos ejemplos elementales...Tome $$J^\mu = x^\mu$$ en Minkowskian coordenadas en el espacio-tiempo de Minkowski, por ejemplo.

Es suficiente con que $\partial_\mu J^\mu \geq 0$$\partial_\mu J^\mu >0$, en una región con no-desaparición de cuatro de volumen para hacer falsa la declaración. Supongo que su maestro está pensando en algunos casos muy específicos.

Tal vez su maestro se refiere a las corrientes que se generan en algunos región acotada $B$ del espacio-tiempo. En este caso, si la corriente está asociado a algunos ecuación hiperbólica, como los de QFT, con el apoyo de $J$ está confinado en la causal de cono $J(B)$ procedía de $B$ en el pasado y en el futuro de la $B$.

La elección de una lo suficientemente grande cilindro paralelo al eje temporal de un Minkowskian marco de referencia y completamente incluyendo esta doble cono, usted puede descuidar la contribución de la superficie de la integral sobre la superficie lateral del cilindro.

Sin embargo no puedo ver ninguna razón de peso para demostrar que la integración sobre la (spacelike) bases de $\Sigma_{\pm T}$ se desvanece para $T \to +\infty$. No hay ninguna razón para pensar. $J$ se desvanece en el remoto futuro/pasado de $B$ pero no podemos decir que se desvanece tan rápidamente para hacer de fuga el mencionado integrales sobre $\Sigma_{\pm T}$.

Para corroborar esta idea en contra de la supuesta prueba de la declaración, creo que de una conservado actual, es decir, $\partial_\mu J^\mu =0$ asociada a otra causal campo cuántico. En este caso, $\int \partial_\mu J^\mu d^4x =0$ como quería, pero la razón no es la que alegar.

En este caso, cada integrante más de las mencionadas bases de $\Sigma_{\pm T}$ de el cilindro no se desvanecen para $T \to +\infty$.

Lo que es cierto es que la suma de ellos es cero, debido a que son evaluados en referencia a la frente timelike normal de la unidad de vectores.

Sin embargo, cada integrante por separado es igual a (a firmar) el conservadas cargo $$Q = \int_{\Sigma_t} J^0 d^3x \neq 0$$ asociada con la corriente.

Como un ejemplo, considere el $J_\mu = \phi \partial_\mu \psi - \psi \partial_\mu \phi$ $\partial_\mu \partial^\mu \phi + f\phi = \partial_\mu \partial^\mu \psi + f \psi=0$ (para cada función fija $f$). Es fácil para elegir las condiciones iniciales de $\psi$ $\phi$ $\Sigma_0$ obtener $Q \neq 0$. En este caso, sin embargo, $\phi(t,x)$ $\psi(t,x)$ desvanecerse $t\to +\infty$ para todos los fijos $x$.

Mi conclusión es que, incluso en QFT, la instrucción es generalmente falso: es mejor asumir la $\partial_\mu J^\mu =0$ a partir de cero y estas corrientes no están directamente asociados a (gratis) cuánticas de campos.

Answer 3

Es común para denotar el espacio-tiempo integrales con $\int d^4 x$ y en el espacio de las integrales con $\int d^3 x$. La integración por partes, $$\int d^4 x 1\partial_0 J^0=\int d^3 x \int dx^0 1\partial_0 J^0=\int d^3 x\left( \left[J^0\right]^{t=\infty}_{t=-\infty} -\int dx^0 J^0\partial_0 1\right).$$ Since $\partial_0 1 = 0$, we can simplify to $$\int d^4 x \partial_0 J^0 = \int d^3 x \left[J^0\right]^{t=\infty}_{t=-\infty}.$$ If $\lim_{t\to\infty}J^0=\lim_{t\to -\infty}J^0=0$ for all $x\in\mathbb{R}^3$, $\left[J^0\right)^{t=\infty}_{t=-\infty}=0$ so $\int d^4 x \J partial_0^0 = 0$. We can repeat this argument or $\int d^4 x\partial_1 J^1$, provided this time we define $d^4 x = dx^1 d^3 x$ instead of $d^4 x = dx^0 d^3 x$.

Sumando sobre todos los $\mu$, la prueba de que $\int d^4 x \partial_\mu J^\mu = 0$ sólo requiere que $J^\mu\to 0$ "en el infinito" en cualquier "dirección" en el espacio-tiempo. Para algunas de las soluciones de algunas ecuaciones de movimiento, podemos probar esto de forma explícita (por ejemplo, debido a una Gaussiana de la supresión). En general, el cálculo de variaciones define clases de equivalencia en las integrales para que las integrales son equivalentes si se diferencian por un término de la forma $\int d^4 x \partial_\mu J^\mu$. En particular, esta es la forma funcional derivados $\frac{\delta S}{\delta\phi}$ se definen en el axioma $\frac{\delta S}{\delta\phi}=0$ para todos los campos dinámicos $\phi$; $\delta S$ es el equivalente en el anterior sentido a $\int d^4 x \sum_\phi \delta\phi \frac{\delta S}{\delta\phi}$.

Answer 4

El punto de partida para una teoría de campo es típicamente un principio de acción. Para que una variacional problema bien planteado, es importante pertinente imponer las condiciones de contorno (BCs), por ejemplo, de Dirichlet BCs. Tal BCs puede explicar por qué el límite de los términos puede ser descuidado en el teorema de la divergencia, cf. OP maestro.

Sin embargo, hay muchas campo de las teorías donde el límite de términos son importantes, o incluso jugar un papel dominante, tales como, por ejemplo, TFTs, o, por ejemplo, la GHY término en GR. En tales situaciones, sería incoherente tirar el límite de términos.